1、考点 直线、圆的位置关系,考点清单,考向基础 1.直线与圆的位置关系的判断 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程根的判别式为.,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三 角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式计算: |AB|= |xA-xB|= . 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,0),其中Rr.,3.两圆的位置关系的判定 设圆O1的方程为(x-a1)2+
2、(y-b1)2=R2(R0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r,拓展延伸 1.常见直线系方程 (1)过定点(x1,y1)的直线系方程为A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B20),还可以表 示为y-y1=k(x-x1)和x=x1. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0(C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x +B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+B2y+C2=0). 2.与圆的切
3、线有关的结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b),=r2; (3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两 点的直线方程为x0x+y0y=r2; (4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点 为T,则切线长为|PT|= . 3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法 (1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直
4、 线方程; (2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程. 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.,考向突破,考向一 直线与圆、圆与圆位置关系的判断,例1 圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x|-1的公共点的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,解析 圆的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.y=|x|-1= 圆心(0,1)到直线y=x-1(或y=-x-1)的距离d= 1,故公共点的 个数为0.故选D.,答案 D,例2 (2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线 段的长度是2 .则圆M与圆N:(x-1
5、)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,解析 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得 线段的长度为2 ,所以圆心M到直线x+y=0的距离d= = (a0), 解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|= ,则R-r R+r, 所以两圆的位置关系为相交,故选B.,答案 B,考向二 弦长问题,例3 已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2 ,则a= .,解析 由题意知,圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线x-y-4=0的距离为 .因为弦长为2 ,所以 = ,解得a=2或a
6、=6.,答案 2或6,例4 过点M(1, )的圆O:x2+y2=4的切线方程是 .,解析 由题意知kOM= ,且点M在圆O上,切线的斜率k=- ,过点M 的圆O的切线方程为y- =- (x-1),即x+ y-4=0.,答案 x+ y-4=0,考向三 切线问题,方法1 与圆有关的最值问题的求解方法 1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合方法求解. 2.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:形如= 形式的 最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如m=ax+by形式的最值 问题,可转化为动直线截距的最值问题;形如n=(x-a)2+(y-b)2形式的最 值问题,可转化为动点
7、到定点的距离的平方的最值问题.,方法技巧,例1 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 解题导引,解析 原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆. (1)设 =k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有 =,解得k= ,故 的最大值为 ,最小值为- . (2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时 = ,解得b=-2 .所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- . (3)x2+y2表示圆上
8、一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点 与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值. 又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的 最小值是(2- )2=7-4 .,方法2 求解与圆有关的切线和弦长问题的方法 1.求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法:先求切点和圆心连线的斜率k (假设斜率存在,且不为零),由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程 可求切线方程;若切线斜率不存在(此时k=0),则切线的方程为x=x0;若切 点和圆心连线的斜率不存在,则切线方程为y=y0. 2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法:几何法:当斜率存在时,
9、 设斜率为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到直线的距离 等于半径,即可得到k的值,从而可得切线方程,当切线斜率不存在时,切 线的方程为x=x0;代数法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0=k (x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0,求得k值,从而得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0.,3.圆的弦长的求法:几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则 =r2-d2;代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将方程组消去y后得到一个关于x的一元二次方
10、程,从而求得x 1+x2,x1x2,则弦长|AB|= (k为直线的斜率).,例2 (2015重庆文,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该 圆在点P处的切线方程为 . 解题导引,解析 设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方 程为x2+y2=5.设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则 =(x-1,y-2).由 (O为坐标原点),得 =0,即1(x-1)+2(y-2)=0,即x+2y-5=0.,答案 x+2y-5=0,例3 (2016课标文,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于 A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 . 解题导引,解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆 心到直线x-y+2a=0的距离d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2= 2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.,答案 4,
