1、考点一 椭圆的定义和标准方程,考点清单,考向基础,考向突破,考向一 椭圆的定义,例1 已知ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦 点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是 ( ) A.2 B.6 C.4 D.2,解析 由椭圆的方程得a= .设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定 义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+ |BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4 .,答案 C,考向二 求椭圆的方程,例2 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x
2、轴上,离心率为 ,且椭圆 G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,解析 依题意设椭圆G的方程为 + =1(ab0), 椭圆上一点到两焦点的距离之和为12, 2a=12,a=6, 椭圆的离心率为 , e= = = ,即 = , 解得b2=9,椭圆G的方程为 + =1,故选A.,答案 A,考点二 椭圆的几何性质,考向基础,考向突破,考向 求椭圆的离心率(范围),例 (1)(2016课标,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭 圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C.
3、 D. (2)(2015福建,11,5分)已知椭圆E: + =1(ab0)的右焦点为F,短轴的 一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直 线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,解析 (1)如图,|OB|为椭圆中心到l的距离, 则|OA|OF|=|AF|OB|, 即bc=a , 所以e= = . 故选B.(2)直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称, 于是|AF|+|BF|=2a=4, 所以a=2.不妨令M(0,b), 则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 , 得 ,即b1. 所以
4、e2= = = ,又0e1, 所以e ,故选A.,答案 (1)B (2)A,考点三 直线与椭圆的位置关系,考向基础 1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程 + =1(ab0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+ Bx+C=0(A0)的形式,则:,2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|= |x1-x2| = = |y1-y2| = (k为直线斜率,k0). 3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1、F2构成的PF1F2称作焦 点三角形.设F1PF2=. (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c2=|
5、PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos ;,(3) = |PF1|PF2|sin = b2=b2tan =c|y0|. 其中当|y0|=b,即P为短轴端点时,PF1F2的面积最大,最大面积是bc.,拓展延伸 1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径,|AB|= .2.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值. 3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB 的斜率之积为定值- .,考向突破,考向一 与弦的中点有关的问题,例1 平行四边形ABCD内接于椭圆 + =1,直线AB的斜率k1=1,则直 线AD的斜率k2= ( )
6、 A. B.- C.- D.-2,解析 设AB的中点为G,则由椭圆的对称性知,O为平行四边形ABCD的 对角线的交点,则GOAD.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 两式相减 得 =- ,整理得 =- =-k1=-1,即=- .又G ,所以kOG= =- ,即k2=- ,故选B.,答案 B,考向二 椭圆截直线的弦长问题,例2 已知椭圆C: + =1(ab0),直线l1: - =1被椭圆C截得的弦长 为2 ,且e= ,过椭圆C的右焦点且斜率为 的直线l2被椭圆C截得的 弦为AB. (1)求椭圆的方程; (2)求弦AB的长度.,解析 (1)由l1被椭圆C截得的弦长为2 , 得a2+b2=8
7、, 又e= ,故 = ,即 = ,所以a2=3b2.联立,解得a2=6,b2=2,所以所求的椭圆方程为 + =1. (2)由(1)知椭圆的右焦点的坐标为(2,0),l2的方程为y= (x-2), 代入椭圆C的方程,整理得5x2-18x+15=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知,x1+x2= ,x1x2=3,从而|x1-x2|= = , 由弦长公式,得|AB|= |x1-x2|= = , 即弦AB的长度为 .,方法1 求椭圆标准方程的方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个 坐标轴都有可能; (2
8、)设方程:根据上述判断设方程: + =1(ab0), + =1(ab0)或 mx2+ny2=1(m0,n0);,方法技巧,点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ny2=1(m0,n0). 2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的几何意义写出标准方程; (2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组,进而求出标准方程.,(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c或m,n的方程组; (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦,例1 已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心
9、率为 , 过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 解题导引,解析 由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a,所以4a=4 ,故a= ,又 由e= = 得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为 + =1,故选A.,答案 A,方法2 椭圆的离心率(取值范围)的求法 1.若给定椭圆的方程,则可直接求得a2,b2,利用定义e= = 直接求解. 2.若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形,建立关于a,b,c的方程(不等 式),转化为关于e的方程(不等式)求解.,例2 (2016江苏,10,5分)如图
10、,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + = 1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭 圆的离心率是 .,解题导引,解析 由已知条件易得B ,C , F(c,0),所以 = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, c2- a2+ b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2)=0, 亦即3c2=2a2, 所以 = ,则e= = .,答案,方法3 解决直线与椭圆位置关系问题的方法 1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的 方程组的实数解个数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一元二次方 程,若0,则直线与椭圆相交;若
11、=0,则直线与椭圆相切;若0,则直线 与椭圆相离. 2.弦长公式:设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的两个交点,直线AB的斜率 存在,设为k(k0),则 |AB|= = ,即|AB|= |x1-x2|= |y1-y2|. 3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆 + =1(ab0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y 0),则x0= ,y0= ,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这 其中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由 用-将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称 为点差法). 4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问,题,
12、通常要用方程和函数的思想方法,而恰当地选择函数的自变量至关重要.,例3 (2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)的两个焦点与短 轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有 一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标; (2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与 直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值. 解题导引,解析 (1)由已知,得a= b, 则椭圆E的方程为 + =1. 由方程组 得3x2-12x+(18-2b2)=0. 方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3, 此时方程的解为x1=x2=2, 所以椭圆E的方程为 + =1. 点T的坐标为(2,1). (2)证明:由已知可设直线l的方程为y= x+m(m0),由方程组 可得 所以P点坐标为 ,则|PT|2= m2. 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2). 由方程组 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0. 方程的判别式为=16(9-2m2), 由0,解得- m .,由得x1+x2=- ,x1x2= .所以|PA|= =, 同理,|PB|= . 所以|PA|PB|= = = = m2. 故存在常数= ,使得|PT|2=|PA|PB|.,
