1、第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,2.奇(偶)函数的性质,3.周期性,教材研读,考点突破,考点一 函数奇偶性的判断与应用,考点二 函数周期性的判断与应用,考点三 函数性质的综合应用,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数和一个偶函数的积是 奇函数 .,(4)若函数f(x)是奇
2、函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,知识拓展 1.与函数的奇偶性相关的结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,xD,其中定义域D 是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的
3、区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.,2.与函数的周期相关的其他结论 (1)若f(x+a)= ,则函数的周期为2|a|; (2)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,则函数 f(x)的周期为2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)对称,且关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周 期是2|b-a|; (4)若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,且关于点(b,0)对称,则函数f(x)的 周期是4|b-a|;,(5)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周
4、期为2|a|; (6)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4|a|.,1.(教材习题改编)已知函数f(x)=ax3-bx+1,若f(-2)=-1,则f(2)= .,答案 3,解析 f(-x)=-ax3+bx+1,则f(x)+f(-x)=2,则f(2)=2-f(-2)=3.,2.(教材习题改编)若函数y=f(x)是R上的奇函数,且当x0时, f(x)=1,则函 数y=f(x)在x0上的解析式为 .,答案 f(x)=,解析 由函数y=f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,x0时, f(x)=-f(-x)=-1,故函 数y=f(x)在x0上的解析式为f(x)=,3.(201
5、7南京第一学期期中)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,当 x0,2时, f(x)=2x,则f(6)的值为 .,答案 -4,解析 奇函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,则最小正周期是8,则f(6)=f(- 2)=-f(2)=-4.,4.函数f(x)是定义在R上的函数,给出下列说法: (1)若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2); (2)若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数; (3)若f(-2)f(2),则函数f(x)不是偶函数; (4)若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数. 其中正确的个数是 .,答案 2,解析 (1)正确;由偶函数的定义可知(2)错误,
6、(3)正确;若f(x)=0是定义在 R上的函数,则f(-2)=f(2)=0,但函数f(x)既是奇函数也是偶函数,(4)错误.,5.(2017江苏五校高三学情检测)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的 奇函数,当0x1时, f(x)=8x,则f 的值为 .,答案 -2,解析 由题意得f =f =f =-f =- =-2.,6.(2019江苏高考数学模拟)若函数f(x)=2x+ 是偶函数,则实数a等于.,答案 1,解析 函数f(x)=2x+ 是R上的偶函数,则f(-x)=f(x),即2-x+ =2x+ ,即(1 -a) =0,所以1-a=0,解得a=1.,考点一 函数奇偶性的判断与应用 角度一
7、 函数奇偶性的判断 典例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4+x; (2)f(x)= (3)f(x)=lg(x+ ).,考点突破,解析 (1)f(x)的定义域为R,关于原点对称,但f(x)=x4+xf(-x)=x4-x,且f(x) =x4+x-f(-x)=-x4+x,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+), 当x0,所以f(-x)=-(-x)2+(-x)=-(x2+x)=-f(x); 当x0时,-x0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)=-(-x2+x)=-f(x). 所以f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数. (3)函
8、数f(x)的定义域为R,由f(-x)+f(x)=lg(-x+ )+lg(x+ )=lg 1 =0,得f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.,方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法,1.定义法,2.图象法,3.性质法 在相同的定义域内, (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇奇”是偶,“奇奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶偶”是偶,“偶偶”是偶; (3)“奇偶”是奇,“奇偶”是奇.,角度二 已知函数的奇偶性,求参数的取值,典例2 (1)(2017江苏海门中学高三教学质量检测)若函数f(x)= 是偶函数,则f(a-b)= .(2)(2018徐州高三检测)若函数f(x)=
9、 为奇函数,则实数a的值为.,答案 (1) (2)-1,解析 (1)由函数f(x)= 是偶函数,得x0时, f(x)=f(-x)=(-x)2- = x2- ,则a=1,b=-2,则f(a-b)=f(3)=9+ = . (2)函数f(x)= 为定义在x|x0上的奇函数,则f(-1)=-f(1),即 =-,解得a=-1.,方法技巧 已知函数的奇偶性,求参数的取值,方法一般有两种:一是特值法,若函数 的定义域已知或者容易求出,利用定义域关于原点对称或者在定义域内 取特殊值建立方程求解;二是定义法,若函数的定义域不清楚或者难以 求解,则利用奇偶性的定义求解.,典例3 (1)已知函数f(x)是定义在R上
10、的奇函数,当x(-,0)时, f(x)=2x3 +x2,则f(2)= . (2)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)= . 若存在x0 ,使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是.,角度三 已知函数的奇偶性,求解析式、函数值,答案 (1)12 (2),解析 (1)由题意可知f(2)=-f(-2),x(-,0)时, f(x)=2x3+x2,f(2)=-f(-2) =-2(-8)+4=-(-12)=12. (2)由f(x)+g(x)= ,得f(-x)+g(-x)=2x,又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇 函数和偶函数,所以-f(
11、x)+g(x)=2x,联立解得f(x)= ,g(x)=. 由题意可得a + =0,x0 有解,令 - =t,t,则方程变为at+t2+2=0,则-a=t+ ,则a.,规律总结 与奇偶性相关的函数解析式有两种类型:一是已知两个函数f(x),g(x)的 奇偶性和一个关于f(x),g(x)的方程,将x用-x代替,再利用奇偶性得到另一个关于f(x),g(x)的方程,从而利用解方程组的方法求解f(x),g(x)的解析式; 二是已知函数f(x)的奇偶性和某一区间上的解析式,求对称区间上的解 析式,方法是将所求的解析式转化为已知条件下的解析式,通过奇偶性 的定义处理f(-x)中的符号.,1-1 (2019江
12、苏扬州中学高三模拟)若函数f(x)=xln(x+ )是定义域 为R的偶函数,则a= .,答案 1,解析 函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,且定义域是R,则f(-1)=f(1),即-ln ( -1)=ln( +1),解得a=1.,1-2 (2018南京、盐城高三模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 且当x0时, f(x)=x2+x.若f(a)+f(-a)4,则实数a的取值范围是 .,答案 (-1,1),解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时, f(x)=x2+x,所以 当x0时, f(x)=f(-x)=x2-x,f(a)+f(-a)=2f(a)4即f(a)2,即 或
13、解得0a1或-1a0,故实数a的取值范围是(-1,1).,1-3 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=3x-3-x; (2)f(x)= ; (3)f(x)=,解析 (1)f(x)的定义域为R, 且f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), f(x)为奇函数. (2)由 得-2x2且x0. f(x)的定义域为-2,0)(0,2, f(x)= = = , 易知f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数. (3)f(x)的定义域为R,当x0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);,当x0时, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=
14、0时, f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.,典例4 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x). 当x0,2时, f(x)=2x-x2. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)计算: f(0)+f(1)+f(2)+f(2 019).,考点二 函数周期性的判断与应用,解析 (1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x). f(x)的最小正周期为4. (2)由题意知f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=-f(1)=-1. f(x)是周期为4的周期函数, 且f(0)+f(1)+f(2)+
15、f(3)=0, f(0)+f(1)+f(2)+f(2 019)=505f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.,方法技巧 函数周期性的判断与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0),便可得到函数是周期 函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即 周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.,2-1 (2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上, f(x)= 则f(f(15)的值为 .,答案,解析 f(x+4)=f(x
16、),函数f(x)的周期为4,f(15)=f(-1)= , f =cos =,f(f(15)=f = .,典例5 (1)(2017苏州第一学期期中)已知奇函数f(x)在(-,0)上单调递 减,且f(2)=0,则不等式 0的解集是 . (2)(2019江苏三校高三模拟)已知函数f(x)=ln |x|-x-2,则关于a的不等式f(2a -1)-f(a)0的解集为 .,考点三 函数性质的综合应用 角度一 函数的单调性与奇偶性的综合,答案 (1)(-2,0)(1,2) (2),解析 (1)作出函数f(x)的大致图象(如图),则不等式等价于 或解得10时, f(x)=ln x-x-2单,调递增,则不等式f
17、(2a-1)-f(a)0f(2a-1)f(a)f(|2a-1|)f(|a|)0|2a-1| |a|,即 解得 a1且a . 规律总结 函数的单调性与奇偶性的综合题一般利用奇函数、偶函数与单调性的 关系进行转化,即奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性, 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,易错警示 在利用函数的单调性与奇偶性转化时要注意函数的定义域,如本例 (2)容易遗忘函数的定义域而错填 a1,所以函数问题要坚持定义域优 先的原则.,角度二 函数的奇偶性与周期性的综合 典例6 (2017江苏盐城高三期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x -1,0)时, f(x)=2
18、x,则f(log220)= .,答案 -,解析 函数f(x)是以4为周期的奇函数,log220(4,5),4-log220(-1, 0), f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220), 当x-1,0)时, f(x)=2x, f(log220)=- =- =- .,方法技巧 函数的周期性与奇偶性的综合,常见题型是求值,利用周期性、奇偶性 进行变换,将所求函数值对应的自变量转化到已知解析式的定义域内求 解.,角度三 函数的单调性、奇偶性与周期性的综合 典例7 已知函数y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1 -x).当x2,3)时, f(x)=
19、log2(x-1).给出以下4个结论: 函数y=f(x)的图象关于点(k,0)(kZ)中心对称; 函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数; 当x(-1,0)时, f(x)=-log2(1-x); 函数y=f(|x|)在(k,k+1)(kZ)上单调递增. 其中正确的结论有 (填序号).,答案 ,解析 因为f(2+x)=-f(1-(1+x)=-f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为2. 又f(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象也关于点(2,0)对 称.先作出函数f(x)在区间2,3)上的图象,然后作出f(x)在区间(1,2)上的图 象,则f(x)的大致图象如图 所
20、示,由图象可知f(x)关于点(k,0)(kZ)中心对称,故正确;,由y=|f(x)|的图象可知y=|f(x)|的周期为2,故正确; 当-1x0时,22-x3, f(2-x)=log2(1-x)=-f(x),即f(x)=-log2(1-x),故正确; y=f(|x|)在(-1,0)上为减函数,故错误. 方法技巧 函数的单调性、周期性与奇偶性的综合,通常先利用周期性转化自变量 所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,3-1 (2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知函数f(x)=ln(1+x2), 则满足不等式f(2x-1) f(3)的x的取值范围是 .,答案 (-1,2),解析 函数f(x
21、)是偶函数,且在0,+)上单调递增,则f(2x-1)f(3)f(|2x-1 |)f(3)|2x-1|3-32x-13.则-1x2.,3-2 (2018江苏南通高三学情检测)已知 f(x)是定义在R上的偶函数,并 且满足f(x+2)=- ,当2x3时, f(x)=x,则f(105.5)= .,答案,解析 由f(x+2)=- 得 f(x+4)=f(x+2)+2=- =- =f(x), f(x)是以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x, f(105.5)=f(2.5)= .,3-3 (2017江苏泰州中学高三月考)设函数D(x)= 则下列结 论正确的是 .(只填序号) D(x)的值域为0,1;D(x)是偶函数; D(x)不是周期函数;D(x)不是单调函数.,答案 ,解析 显然正确;D(x)的定义域为R,D(-x)=D(x),D(x)是偶函数,正确; D(x+1)=D(x),则1是D(x)的一个周期,错误;D( )=0,D(2)=1,D( )=0, 则D(x)不是单调函数,正确.,
