1、第五节 二次函数与幂函数,1.二次函数的解析式的三种形式,2.二次函数的图象及性质,3.幂函数的定义,4.五种常见的幂函数的图象,教材研读,5.幂函数的性质,考点一 求二次函数的解析式,考点二 二次函数的图象与性质,考点突破,考点三 幂函数的图象与性质,1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0) ; (2)顶点式:若二次函数图象的顶点坐标为(h,k),则其解析式为f(x)= a(x-h)2+k(a0) ;,教材研读,0),则其解析式为f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a0) .,(3)零点式(两根式):若二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(x1,
2、0),(x2,2.二次函数的图象及性质,3.幂函数的定义 形如 y=x(R) 的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数.,4.五种常见的幂函数的图象,5.幂函数的性质,1.(教材习题改编)在函数y= ;y= ;y=2x;y= 中,是幂函数的 有 .(填序号),答案 ,2.(教材习题改编)比较大小: 1. (填“”或“”).,答案 ,解析 因为幂函数y= 在(0,+)上单调递减,且1.4 .,3.二次函数f(x)= x2-2x+3在0,m上的最大值为3,最小值为1,则实数m的 取值范围是 .,答案 2,4,解析 f(x)= x2-2x+3= (x-2)2+1,令f(x)=3,解得x1=0,x2=
3、4,当x0,m时,1 f(x)3,结合二次函数f(x)的图象知2m4,即实数m的取值范围是2, 4.,4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减函数,则实数a的取值 范围是 .,答案 (-,-2,解析 由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,且开口向上,1- a3,即a-2.,5.(2017江苏扬州中学测试)若幂函数f(x)的图象过点 ,则f(x)的解析 式为 .,答案 f(x)=x-2,解析 设f(x)=xa,把点 代入得2a= ,a=-2,故f(x)=x-2.,6.若函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)
4、 的最小值为 .,答案 5,解析 由题意知 解得,则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5(x-4,6). 所以函数f(x)的最小值为5.,考点一 求二次函数的解析式 典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确 定此二次函数的解析式.,考点突破,解析 解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意有 解得 所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0),f(2)=f(-1), 抛物线的对称轴为直线x= = ,m= .,又函数f(x)的最大值是8, f(x)=a +8. f(2
5、)=-1, a +8=-1,解得a=-4. f(x)=-4 +8=-4x2+4x+7.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择 恰当的二次函数解析式的形式,选择规律如下:,1-1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x轴所得的线段长为2,并 且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数 f(x)的解析式.,解析 f(2-x)=f(2+x)对任意xR恒成立, 二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又二次函数f(x)的图象截x轴所得的线段长为2, f(x)=0的两根为1和3.,设二次函数f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-
6、3)(a0), 二次函数f(x)的图象过点(4,3), 3a=3,a=1. 二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3.,考点二 二次函数的图象与性质 角度一 二次函数的最值,典例2 求二次函数f(x)=x2-4x-1在区间t,t+2上的最小值g(t),其中tR.,解析 函数f(x)=x2-4x-1=(x-2)2-5的图象的对称轴为直线x=2,开口向上. 当2t,t+2,即0t2时,g(t)=f(2)=-5;,当2t,t+2时,第一种情况:当t2时, f(x)在t,t+2上为增函数,故g(t)=f(t) =t2-4t-1;,第二种情况:当t+22,即
7、t0时, f(x)在t,t+2上为减函数,故g(t)=f(t+2)=(t+ 2)2-4(t+2)-1=t2-5. 故g(t)=,方法技巧 二次函数在闭区间上的最值问题的常见类型及处理策略 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间 定、轴定区间动,无论哪种类型,解决问题的关键都是考虑函数图象的 对称轴与区间的关系,需要按照“三点一轴”(“三点”即区间的端点 和中点,“一轴”即对称轴)来分类讨论.,同类练 已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式; (2)求g(a)的最大值.,解析 (1)由f(x)=2x2-2a
8、x+3=2 +3- ,知其图象的对称轴为直线x=, 当 -1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+5; 当-1 1,即-2a2时,g(a)=f =3- ; 当 1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a.,综上可得g(a)= (2)由(1)知,当a-2时,g(a)1,当且仅当a=-2时,取“=”; 当-2a2时,g(a)3,当且仅当a=0时,取“=”; 当a2时,g(a)1,当且仅当a=2时,取“=”. 当a=0时,g(a)取得最大值,最大值为3.,变式练 (2019江苏响水中学模拟)若f(x)=-x2+ax+ - ,x0,1的最大值 为2,则a= .,答案 -6或,解析 当 1,即a2时
9、, f(x)max=f(1)= - =2,解得a= ,符合题意,故a= -6或 .,深化练 (2017江苏苏州调研)已知函数f(x)= 有两个 不相等的零点x1,x2,则 + 的最大值为 .,答案,解析 当k0时, f(x)只有1个零点,舍去;当k=0时, f(x)只有1个零点,舍去; 当k0得k-1,则f(1)=k+10,则f(x)=kx2+2x-1,x(0,1只有 1个零点x1= ,另一个零点为x2=- 1,则 + = -k=+1-k,-1k0.令 =t,0t1,则k=t2-1,则 + =-t2+t+2=- +,0t1.当t= 时, + 取得最大值 .,角度二 二次函数的单调性 典例3 已
10、知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. (1)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6, 解得a4或a-6. 故a的取值范围是(-,-64,+).,(2)当a=-1时, f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其图象如图所示.,x-4,6,f(|x|)的减区间为-4,-1)和0,1),增区间为-1,0)和1,6.,方法技巧 二次函数的单调性与其图象的开口方向、对称轴有关,解决二次函数
11、的 单调性问题常利用数形结合的方法求解.,角度三 二次函数中的恒成立、有解问题 典例4 (2017镇江高三期末)已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意的x1,3,不 等式f(x)0恒成立,则实数k的最大值为 .,答案 4,解析 由题意可知k =x+ ,x1,3恒成立, 即k ,x1,3, 而x+ 4,当且仅当x=2时取“=”,满足x1,3, k4, k的最大值为4.,规律方法 二次不等式在给定区间上的恒成立问题,一般优先考虑分离参数法,其 次可结合函数图象直观求解.,2-1 若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+)上单调递增,则实数a的取值范围是 .,答案 -4,0,解析 f(x)=x
12、2+a|x-2|= 在(0,+)上单调递增,则 解得-4a0.,2-2 已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最小值1和最大值 4,设f(x)= . (1)求a、b的值; (2)若不等式f(2x)-k2x0在区间-1,1上有解,求实数k的取值范围.,解析 (1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,a0,g(x)在区间2,3上是增函数,故 解得,(2)由(1)知g(x)=x2-2x+1, f(x)=x+ -2, f(2x)-k2x0可化为1+ -2 k.,令t= ,则kt2-2t+1. x-1,1,t .,记h(t)=t2-2t+1,t , h(t)max=h(2)=
13、1,实数k的取值范围是(-,1.,典例5 (2018江苏宿迁高三调研)已知幂函数y=f(x)的图象经过点 . (1)试求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的奇偶性并写出该函数的单调区间.,考点三 幂函数的图象与性质,解析 (1)设f(x)=xa(aR),由题意得f(2)=2a= , 解得a=-3,故函数f(x)的解析式为f(x)=x-3. (2)函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+), 因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),故该幂函数为奇函数. 其单调减区间为(-,0),(0,+). 方法技巧 用待定系数法求幂函数的解析式,只需一个条件.准确掌握幂函数的图 象和性
14、质是研究幂函数的奇偶性和单调性的关键.,3-1 已知点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象 上. (1)求函数f(x)、 g(x)的解析式; (2)求当x为何值时,有f(x)=g(x);f(x)g(x);f(x)g(x).,解析 (1)设f(x)=xa,g(x)=xb,a,bR, 点( ,2)在函数f(x)的图象上,点 在函数g(x)的图象上,( )a= 2,(-2)b= , 解得a=2,b=-2.f(x)=x2,g(x)=x-2. (2)在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图所示.,由图可知: 当x=1时, f(x)=g(x); 当x1时, f(x)g(x); 当-1x1且x0时, f(x)g(x).,
