1、第五节 两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式,2.二倍角的正弦、余弦和正切公式,3.降幂公式,教材研读,考点一 三角公式的应用,考点二 角的变换,考点突破,1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()= sin cos cos sin , cos()= cos cos sin sin , tan()= .,教材研读,2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2= 2sin cos ,cos 2= cos2-sin2 = 2cos2-1 = 1-2sin2 , tan 2= .,3.降幂公式 sin2= , cos2= .,1.(2018江苏南通中学
2、第一学期期末)化简:sin 13cos 17+sin 17cos 13 = .,答案,解析 原式=sin(13+17)=sin 30= .,2.(教材习题改编)若cos(+)= ,cos(-)= ,则tan tan = .,答案 -,解析 cos(+)=cos cos -sin sin = , cos(-)=cos cos +sin sin = ,则 cos cos = ,sin sin =- ,则tan tan = =- .,3.(教材习题改编)求值:sin 10cos 20cos 40= .,答案,解析 原式= = = = = .,4.(教材习题改编)若sin = ,cos =- ,则角所
3、在的象限为 .,答案 第四象限,解析 sin =2sin cos 0,则角在第四象限.,5.(2017江苏,5,5分)若tan = ,则tan = .,答案,解析 因为tan = , 所以tan =tan = = = .,6.(2019江苏苏州高三模拟)已知tan =2,则cos 2的值是 .,答案 -,解析 tan = =2,tan =-3,则cos 2= = = - .,考点一 三角公式的应用 角度一 三角公式的直接应用 典例1 (1)(2018江苏镇江上学期期末)计算: = . (2)(2018江苏高考信息预测)已知tan =- ,则tan 的值为 .,考点突破,答案 (1) (2)-,
4、解析 (1) = = = . (2)tan = =- ,tan x= ,则tan 2x= = ,tan =- .,方法技巧 应用两角和与差、二倍角公式求值时,要熟记公式,熟悉各个公式的结 构特征,并正确运算.,典例2 (1)(2018常州教育学会学业水平检测)若2sin -3cos =- ,2cos -3sin =- ,则sin(+)= . (2)(2019南京、盐城高三模拟)已知锐角,满足(tan -1)(tan -1)=2,则 +的值为 .,角度二 三角公式的变形应用,答案 (1) (2) ,解析 (1)两式平方相加得13-12sin cos -12cos sin = ,则12sin(+)
5、 =13- = ,sin(+)= . (2)由(tan -1)(tan -1)=2得tan tan -(tan +tan )+1=2,整理得 =-1,即tan(+)=-1.因为,为锐角,所以0+,所以+的 值为 .,1-1 (2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知角的顶点与原 点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(1,2),则tan 2= .,答案 -,解析 由题意可得tan =2,则tan 2= =- .,1-2 (2019江苏高三模拟)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值, 则cos = .,答案 -,解析 由题意得, f(x)= = sin(x-),其
6、中sin =,cos = ,由x=时, f(x)取得最大值,即sin(-)=1,-=2k+ ,k Z,即=+ +2k,kZ,cos =cos =-sin =- .,典例3 (2018江苏如东高级中学高三上学期期中)已知,都是锐角,且 sin = ,tan(-)=- . (1)求sin(-)的值; (2)求cos 的值.,考点二 角的变换,解析 (1)因为, ,所以- - , 又因为tan(-)=- 0,所以- -0. sin2(-)+cos2(-)=1, =- ,sin(-)=- . (2)由(1)可得,cos(-)= = = . 因为为锐角,sin = ,所以cos = ,所以cos =co
7、s-(-)=cos cos(- )+sin sin(-),= + = .,方法技巧 (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般可表示为两个“已知角” 的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时要着眼于“所求角”与“已知角”的 和或差的形式,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的配角技巧:2=(+)+(-);=(+)-;= - ;= +,; = - 等.,同类练 (2018江苏五校高三学情检测)已知 ,且cos =,则sin 的值是 .,答案,解析 由 得- ,且cos = ,则sin = ,则 sin =sin = + = .,变式练 (2018江苏盐城中学高三检测
8、)已知f(x)=cos ,若f()= ,则 sin = .,答案 -,解析 由f()= 得cos = ,令 - =t,则cos t= ,=2t+ ,则sin =sin=cos 2t=2cos2t-1=2 -1=- .,深化练 若sin =3sin(2-),则2tan(-)+tan = .,答案 0,解析 由sin =3sin(2-)得sin -(-)=3sin +(-),则sin cos(-)- cos sin(-)=3sin cos(-)+3cos sin(-),即2sin cos(-)+ 4cos sin(-)=0,由题意知-k+ ,kZ,且k+ ,kZ,所以tan + 2tan(-)=0.,
