1、第七节 正弦定理与余弦定理,1.正弦定理和余弦定理,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,3.三角形面积,教材研读,考点一 正弦定理、余弦定理的应用,考点二 与三角形面积有关的问题,考点突破,教材研读,1.正弦定理和余弦定理,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积 设ABC的三边为a,b,c,对角为A,B,C,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,1.(教材习题改编)在ABC中,若A=60,a= ,则 = .
2、,答案 2,解析 由正弦定理可得 = = =2.,2.如果满足A=60,BC=6,AB=k的锐角ABC有且只有一个,那么实数k 的取值范围是 .,答案 (2 ,4 ),解析 若满足条件的锐角ABC有且只有一个,则 解得2 k4 .,3.(教材习题改编)在ABC中,若 = = ,则ABC的形状是.,答案 等腰直角三角形,解析 由正弦定理可得sin B=cos B,sin C=cos C,则B=C= ,则 ABC是等腰直角三角形.,4.(2019南京、盐城高三模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若bsin Asin B+acos2B=2c,则 的值为 .,答案 2,解析 由正
3、弦定理可将条件变形为sin Asin2B+sin Acos2B=2sin C,即sin A=2sin C,则 = =2.,5.(2018江苏启东中学高考押题)已知a,b,c是锐角ABC中A,B,C 的对边,若a=3,b=4,ABC的面积为3 ,则c= .,答案,解析 S= absin C=6sin C=3 ,则sin C= ,又ABC是锐角三角形,所 以C= ,由余弦定理可得c2=9+16-234 =13,c= .,考点一 正弦定理、余弦定理的应用 角度一 利用正弦定理解三角形 典例1 (2018徐州铜山高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c.已知a=1,b=2 ,B-A=
4、 . (1)求sin A的值; (2)求c的值.,考点突破,解析 (1)在ABC中,a=1,b=2 ,B-A= , 则B=A+ , 由正弦定理得 = , 于是2 sin A=sin Acos +cos Asin ,即3 sin A=cos A, 又sin2A+cos2A=1,所以sin A= . (2)由(1)知,cos A= ,则sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=1-2sin2A= , 因为在ABC中,A+B+C=,B-A= ,所以C= -2A, 则sin C=sin =sin cos 2A-cos sin 2A= + = ,又 a=1,所以由正弦定理得,c= = .,
5、规律总结 当已知一个三角形的两角和任一边,或两边和其中一边的对角时,一般 利用正弦定理建立三角形边和角的关系.利用正弦定理求解三角形的一 个角时,一定要注意角的范围,并正确确定角的个数.,典例2 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+cos2 =1, D为BC上一点,且 = + . (1)求sin A的值; (2)若a=4 ,b=5,求AD的长.,角度二 利用余弦定理解三角形,解析 (1)sin A+cos2 =1, sin A+ =1,即2sin A-cos A=1, (2sin A-1)2=cos2A,即5sin2A-4sin A=0. A(0,),sin A0,
6、 sin A= .,(2)在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 把sin A= 代入式中可得cos A= ,32=25+c2-25c ,即c2-6c-7=0,解得c=7. = + , = c2+ b2+ bccos A= + 25+ 57 =25,AD=5.,规律总结 当已知三角形的两条边和它们的夹角,或已知三条边长时,经常利用余 弦定理建立边和角的关系.,典例3 (2018徐州高三考前模拟检测)已知在ABC中,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c.若cos A= ,sin C= . (1)求tan B的值; (2)若a2+b2=7,求c的值.,角度三 综合应用正弦定理、余弦定理
7、解三角形,解析 (1)在ABC中,由cos A= ,得sin A= ,所以tan A=2 ,sin CsinA,所以CA,所以C为锐角,又sin C= ,所以cos C= ,所以tan C= ,所 以tan B=-tan(A+C)=- =- = .,(2)由(1)可求得sin B= ,因为 = ,所以 = = ,又a2+b2=7, 所以 所以c2=a2+b2-2abcos C=7-4 =3,所以c= .,方法技巧 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是 两个定理都要用.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考 虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式
8、,要考虑用正弦 定理;以上特征都不明显时,那么要考虑两个定理都有可能用到.,(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围的限制.,角度四 判断三角形的形状,典例4 (2018江苏无锡高三期末)在ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2- b2)sin(A+B),试判断ABC的形状.,解析 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), b2sin(A+B)+sin(A-B)=a2sin(A+B)-sin(A-B), 2sin Acos Bb2=2cos Asin Ba2, 即a2cos Asin B=b2sin Acos B, 解法一:结合正弦定理知, sin
9、2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin Asin B0, sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B. 在ABC中,02A2,02B2, 2A=2B或2A=-2B, A=B或A+B= . ABC为等腰三角形或直角三角形. 解法二:结合正弦定理和余弦定理得 a2b =b2a ,a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), (a2-b2)(a2+b2-c2)=0, a2-b2=0或a2+b2-c2=0, 即a=b或a2+b2=c2, ABC为等腰三角形或直角三角形.,方法技巧 判断三角形形状的两种常用途径,1-1 (2018常州教育
10、学会学业水平检测)已知ABC中,a,b,c分别为三个 内角A,B,C的对边, bsin C=ccos B+c. (1)求角B; (2)若b2=ac,求 + 的值.,解析 (1)因为 bsin C=ccos B+c,所以由正弦定理得 sin Bsin C= cos Bsin C+sin C,在ABC中,sin C0,所以 sin B-cos B=1,所以sin =,又0B,所以- B- ,所以B- = ,所以B= . (2)因为b2=ac,所以由正弦定理得sin2B=sin Asin C,+ = + = = = = = = = .,1-2 (2018江苏盐城高三(上)期中)在ABC中,角A,B,
11、C的对边分别为a, b,c,已知a=3,cos B= ,且 =7. (1)求b的值; (2)求sin(A-B)的值.,解析 (1)在ABC中,由 =7得accos B=7,因为a=3,cos B= ,所以3c =7,解得c=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=9+9-18 =4,b=2. (2)由cos B= 得sin B= . 由余弦定理得cos A= = = ,所以sin A= ,所以sin(A -B)=sin Acos B-cos AsinB= - = .,1-3 (2019无锡高三模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A = ,C=2A. (1)
12、求cos B的值; (2)若ac=24,求ABC的周长.,解析 (1)因为在ABC中,cos A= ,C=2A, 所以sin A= ,cos C=cos 2A=2cos2A-1 =2 -1= ,所以sin C= , 所以cos B=-cos(A+C)=sin Asin C-cos Acos C= . (2)根据正弦定理得 = = , 又ac=24,所以a=4,c=6,所以b2=a2+c2-2ac cos B=25,b=5, 所以ABC的周长为15.,1-4 在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,若 = ,试确定 ABC的形状.,解析 由已知及正弦定理得 = , sin Acos
13、A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B. A,B是ABC的内角, 2A=2B或2A+2B=, A=B或A+B= , ABC为等腰三角形或直角三角形.,典例5 (2019江苏高考数学模拟)如图,在ABC中,已知AC=7,B=45, D是AB边上的一点,AD=3,ADC=120.求: (1)CD的长; (2)ABC的面积.,考点二 与三角形面积有关的问题,解析 (1)在ACD中,AD=3,AC=7,由余弦定理得,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC,即72=32+CD2-23CD cos 120,解得CD=5.,(2)在BCD中,由正弦定理得 = ,BCD=120-45=7
14、5,所 以 = ,解得BD= , 所以SABC=SACD+SBCD= ADCDsinADC+ CDBDsinBDC= 35 sin 120+ 5 sin 60= .,方法技巧 求三角形面积的两种方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求 解这个角的两边或该角的两边之积,套公式求面积. (2)若已知三角形的三边,则可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值, 套公式求面积.,2-1 (2018江苏如东高级中学高三上学期期中)在ABC中,角A,B,C所 对的边分别为a,b,c,且csin B=bcos C=3. (1)求边长b; (2)若ABC的面积为 ,求边长c.,解析 (1)由题意及正弦定理得sin Csin B=sin Bcos C,在ABC中,0B ,所以sin B0,所以sin C=cos C,又0C,所以C= ,又bcos C=3,所以b= 3 . (2)因为SABC= acsin B= ,csin B=3,所以a=7,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=25,所以c=5.,
