1、 2.9 函数模型及其应用,教材研读,3.解函数应用题的步骤(四步八字),1.几种常见的函数模型,2.三种增长型函数模型的图象与性质,考点突破,考点一 函数模型的选择,考点二 函数模型应用,考点三 构建数模型解决实际问题,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
2、以上过程用框图表示如下:,4.解函数应用题的关键是建立数学模型,要顺利地建立数学模型,重点要 过好三关: (1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题 打开突破口. (2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子 表达数量关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,用已有数学知识进行检验,从而认 定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.,1.有一组实验数据,如下表:,则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ( C ) A.v=log2t B.v=2t-2 C.v= D.v=2t-2,解析 采用排除法.当t=4时,v=log2t=log
3、24=2,但题表中的v值是7.5,相 差很大,排除A;当t=4时,v=2t-2=24-2=14,与7.5相差太大,排除B;当t=4时,v =2t-2=24-2=6,与7.5相差也太大,排除D.故选C.,2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历 了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民 这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( B ) A.略有盈利 B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况,解析 设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价 格为a(1+10%)n=a1.1n元,又经历n次跌停后的价格为a1
4、.1n(1-10%)n=a 1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99na元a元,故该股民这只股票略有亏损.,3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接 矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是 ( C )A.15,20 B.12,25 C.10,30 D.20,30,解析 矩形的一边长为x m,则由相似三角形的性质可得其邻边长 为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S300得-x2+40x300,解得 10x30.,4.某出租车公司规定乘车收费标准如下:3千米以内为起步价8元(即行 程不超过3千米,一律收费8元);
5、若超过3千米,则除起步价外,超过的部分 再按1.5元/千米计价.司机与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱. 已知该乘客下车时乘车里程数为7.4千米,则该乘客应付的车费为 15元 .,解析 依题意得实际乘车费用为8+1.5(7.4-3)=14.6(元),应付车费15元.,5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额 为8万元时,奖励1万元.销售额为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖 励模型为y=alog4x+b(其中y为奖金,x为销售额).某业务员要得到8万元奖 励,则他的销售额应为 1 024 万元.,解析 依题意得 即 解得a=2,b=-2. y=2log4x-2,
6、 当y=8,即2log4x-2=8时,x=1 024.则所求销售额为1 024万元.,函数模型的选择 典例1 (1)下表是在某个投资方案中,整理到的投入资金x(万元)与收益 y(万元)的统计表.,考点突破,你认为体现投入资金x与收益y之间关系的最佳函数模型是( B ) A.y=ax+b B.y=abx C.y=ax2+bx+c D.y=blogax+c (2)某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统 计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如 图,则该关系较适宜的函数模型为 ( B ),A.y=ax+b B.y=a+logbx C.y=abx
7、D.y=ax2+b,解析 (1)画出大致散点图如图所示,根据散点图可知选B.(2)根据散点图可知,较适宜的函数模型为y=a+logbx,故选B.,规律方法 选择函数模型的基本思想 (1)根据数据描绘出散点图; (2)将散点根据趋势“连接”起来,得到大致走势图象; (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比,选择最佳函数模 型.但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合.,1-1 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费xi和年销 售量yi(i=1,2,8)数据得到下面的散点图,则作为年销售量y关于年宣传
8、 费x的函数模型最适合的是 ( B ),A.y=ax+b B.y=a+b C.y=abx D.y=ax2+bx+c,解析 根据散点图知,选择y=a+b 最适合,故选B.,1-2 某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元 /100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:,根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t的变化关系: Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt. 利用你选取的函数,求: (1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ; (2)最低种植成本是 80 元/100 kg.,解析 因为随着时间的增加
9、,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=18 0时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上 市时间的变化关系应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m描述,将 表中数据代入可得解得 所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80 元/100 kg.,函数模型应用,典例2 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- (1+k2)x2(k0)表示的曲线 上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,问:,它的横坐标
10、a不超过多少时,炮弹可以击中飞行物?请说明理由.,解析 (1)在y=kx- (1+k2)x2(k0)中, 令y=0,得kx- (1+k2)x2=0. 由实际意义和题设条件知x0,k0,解以上关于x的方程得x= = =10,当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程是10千米.,(2)因为a0,所以炮弹可以击中目标存在k0,得ka- (1+k2)a2=3.2成立 关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根, 得 解得0a6. 所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中飞行物.,规律方法 已知函数模型求解实际问题的三个步骤 (1)根据已经给出的实际问题的函数模型,分清自变量与函数表达式的 实际
11、意义,注意单位名称,并注意相关量之间的关系. (2)根据实际问题的需求,研究函数的单调性、最值等,从而得出实际问 题的变化趋势和最优问题. (3)最后回归问题的结论.,2-1 某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由 如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为 19 kg.,解析 由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得 x=19.,2-2 (2018金华模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细 微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有
12、一半的沙子,则再经过 16 min,容器中的沙 子只有开始时的八分之一.,解析 当t=8时,y=ae-8b= a,e-8b= ,当容器中的沙子只有开始时的八分 之一时,ae-bt= a,则e-bt= =(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的 沙子只有开始时的八分之一.,典例3 (2017江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF地 段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心,其中AE=30米. 活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下 半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民 楼住户的采光要求,
13、活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民 楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角满足tan = .,构建函数模型解决实际问题 命题方向一 一次函数与二次函数模型,(1)若设计AB=18米,AD=6米,问:能否保证题干中的采光要求? (2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得 活动中心的截面面积最大?(注:计算中取3),解析 如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐 标系.(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9.设太阳光,线所在直线方程为y=- x+b,即3x+4y-4b=0, 则由
14、=9,解得b=24或b= (舍). 故太阳光线所在直线方程为y=- x+24, 令x=30,得y= ,即EG=1.5米2.5米. 所以此时能保证采光要求. (2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r. 解法一:设太阳光线所在直线方程为y=- x+b,即3x+4y-4b=0,由 =r, 解得b=h+2r或b=h- r(舍), 故太阳光线所在直线方程为y=- x+h+2r,令x=30,得y=2r+h- ,由y ,得h25-2r,所以S=2rh+ r2=2rh+ r22r(25-2r)+ r2 =- r2+50r=- (r-10)2+250250, 当且仅当r=10时取等
15、号. 所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大. 解法二:易知当EG恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G的坐 标为(30,2.5), 设过点G的太阳光线所在直线为l1,则l1的方程为y- =- (x-30),即3x+4y-1,00=0. 由直线l1与半圆H相切,得r= . 而点H(r,h)在直线l1的下方,则3r+4h-1000,即r=- ,从而h=25-2r.,S=2rh+ r2=2r(25-2r)+ r2 =- r2+50r=- (r-10)2+250250, 当且仅当r=10时取等号, 所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.,方
16、法指导 一次函数与二次函数模型问题的解决方法 (1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其 增长特点是直线上升或直线下降,构建一次函数模型,利用一次函数的 图象与单调性求解. (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、 产量问题等.对二次函数模型,一般是利用配方法并结合二次函数图象 与单调性解决.,注意:在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.,3-1 如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训 练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此 人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大
17、小.若AB=1 5 m,AC=25 m,BCM=30,则tan 的最大值是 .(仰角为直线 AP与平面ABC所成角),解析 过点P作PNBC于N,连接AN,则PAN=,如图.设PN=x m,由 BCM=30,得CN= x m.在直角ABC中,AB=15 m,AC=25 m,则BC=20m,故BN=(20- x)m.从而AN2=152+(20- x)2=3x2-40 x+625,故tan2= = = .,当 = 时,tan2取最大值 , 即当x= 时,tan 取最大值 .,典例4 国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元 而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税
18、;超过4 000元的按全部 稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿 费(扣税前)为 ( C ) A.2 800元 B.3 000元 C.3 800元 D.3 818元,命题方向二 分段函数模型,解析 由题意知,纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y= 令0.14(x-800)=420, 解得x=3 800, 令0.112x=420,得x=3 750(舍去), 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.,方法指导 分段函数模型问题的两点注意 (1)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各 段自变量的取值范围,特别是端点值. (2)在
19、求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得出最大 值、最小值.,3-2 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月(30天)内,日旅游人数f(t) (单位:万人)与时间t(单位:天)近似满足函数关系f(t)=4+ ,人均消费g(t) (单位:元)与时间t近似满足函数关系g(t)=115-|t-15|,则该城市在过去一 个月内旅游日收益的最小值为 万元.,解析 设该城市在过去一个月内旅游日收益为(t)(单位:万元),由题意 知,(t)= (tN*),当1t15时,(t)= (t+100) =4 +40142 +401=441,当且仅当t= ,即t=5时取等号;当1 5t30时,(t)= (1
20、30-t)=519+ ,此时(t)单调递减,所以当 t=30时,(t)取得最小值 ,又 441,所以该城市在过去一个月内,旅游日收益的最小值为 万元.,典例5 将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量 符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 m min甲桶中的水只有 L,则m的值为 ( A ) A.5 B.8 C.9 D.10,命题方向三 指数函数与对数函数模型,解析 5 min后甲桶和乙桶的水量相等, 函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n= a, 可得n= ln ,f(t)=a , 当k min后甲桶中的水只有 L时,
21、 f(k)=a = a,即 = ,k=10, 由题意可知m=k-5=5,故选A.,方法指导,1.指数函数模型常与人口增长、银行利率、细胞分裂等相结合进行考 查;而对数函数模型常与价格指数、环境承载力等有一定的联系. 2.应用指数函数模型或对数函数模型时,关键是对模型的判定,但现在高 考对这方面的要求不高.常见的题型是先设定模型,将有关的已知数据 代入,确定其中参数的值,从而确定模型. 3.建立了形如y=abx+c+d(b0且b1)或y=alogb(cx+d)(b0且b1)的函数模型之后,通常利用指数函数或对数函数的性质及图象来处理.,3-3 我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会
22、有不同 要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大 小可由如下公式计算:=10lg (其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的 ( C ) A. 倍 B.10 倍 C.10倍 D.ln,解析 由=10lg 得I=I01 ,所以I1=I0107,I2=I0106,所以 =10,所以70 dB 的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍,故选C.,典例6 (2019镇海中学月考)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行 自主创业.经过市场调查,生产某小型电子商品需投入年固定成本3万元, 每
23、生产x万件,需另投入流动成本W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)= x2+x;在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+ -38.每件商品售价为5元.通 过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润= 年销售收入-固定成本-流动成本),命题方向四 函数y=x+ (a0)模型,(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大 利润是多少?,解析 (1)因为每件商品售价为5元, 所以x万件商品销售收入为5x万元. 依题意得, 当0x8时,L(x)=5x- -3=- x2+4x-3; 当x8时,L(
24、x)=5x- -3=35- . 所以L(x)=,(2)当0x8时,L(x)=- (x-6)2+9, 当x=6时,L(x)取得最大值,L(6)=9. 当x8时,L(x)=35- 35-2 =35-20=15. 当且仅当x= ,即x=10时,L(x)取得最大值15. 因为915,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利 润最大,最大利润为15万元.,方法技巧 应用对勾函数模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= “相加”而 成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有时则是将所 列函数关系式转化为含“ax+ ”的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时的条件.,
