1、第一节 函数及其表示,1.函数与映射的概念,2.函数的有关概念,3.分段函数,教材研读,考点一 函数的概念,考点二 函数的定义域,考点三 分段函数,考点突破,1.函数与映射的概念,教材研读,2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义 域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函 数的 值域 . (2)函数的三要素:定义域、值域和 对应关系 .,(4)函数的表示法 表示函数的常用方法: 解析法 、图象法、列表法.,(3)相等函数:如果两个函数的 定义域 相同,且 对应关系 完全一致,则这两个函数
2、相等,这是判断两函数相等的依据.,3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组 成,但它表示的是一个函数.,1.下列所给图象是函数图象的有 ( B )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析 中,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是 函数图象;中,当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;中,每 一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.,2.(2017北京西城二模,2)下列函数中,值域为0,1的是 ( D ) A.y=x2 B.y=sin x C.y= D.y=,解析 A
3、选项,y=x2的值域为0,+); B选项,y=sin x的值域为-1,1;C选项,y= 的值域为(0,1; D选项,当x=0时,y= 的值最大,为1,当x=1或-1时,y= 的值最小, 为0,所以值域为0,1.故选D.,3.(2016北京临川学校期末)函数y= 的定义域是 ( C ) A.(-,2) B.(2,+) C.(2,3)(3,+) D.(2,4)(4,+),解析 若函数y= 有意义,则 解得x2且x3,故选C.,4.已知f =2x-5,且f(a)=6,则a等于 ( B ) A.- B. C. D.-,解析 令t= x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1, f(
4、a)=4a-1=6,即a= .,5.(2018北京海淀期中)若函数f(x)= 的值域为 ,则实 数a的取值范围是 ( D ) A.(0,e) B.(e,+) C.(0,e D.e,+),解析 当x0时, f(x)=xex,则f (x)=ex(x+1), 当x0, x=-1是函数f(x)的极小值点,也是最小值点, f(x)min=- ,若函数f(x)的值域为 , 则当x0时, f(x)min- . 当a=0时,显然不符合题意, 当a0时,要满足f(x)min- ,只需 解得ae,故选D.,6.设函数f(x)= 则f (f(2)= ,函数f(x)的值域是 .,答案 - ;-3,+),解析 f(2)
5、= ,则f (f(2)=f =- . 当x1时, f(x)(0,1),当x1时, f(x)-3,+), f(x)-3,+).,考点一 函数的概念 典例1 (1)设M=x|0x2,Ny|0y2,给出如图所示四个图形,其 中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 ( B ),考点突破,A.0 B.1 C.2 D.3,(2)已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数中与f(x)相等的函数是 ( B ) A.g(x)= B.g(x)= C.g(x)= D.g(x)=x-1,解析 (1)中,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,所以不是;中, 因为集合M中,当1x2时,在N中无元素与之对应,所以不是;中
6、,当 x=2(或x=0)时对应元素y=3N,所以不是;由函数定义知,是. (2)由于g(x)= 与f(x)的定义域和对应关系完全一致, 故选B.,规律方法 函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量之间是否具有函数关 系,只需检验:定义域和对应关系是否给出;根据给出的对应关系, 自变量x在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函教值y与之对 应;集合P,Q是不是非空数集.,1-1 下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( D ) A.y=x-1和y= B.y=x0和y=1 C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)= 和g(x)=,解析 A中两个函数的定义域不同;B中两个函数的定义
7、域也不同,y =x0中x不能取0;C中两函数的对应关系不同,故选D.,典例2 (1)(2016北京海淀一模,1)函数f(x)= 的定义域为 ( A ) A.0,+) B.1,+) C.(-,0 D.(-,1 (2)函数y= 的定义域为 ( D ) A.-4,1 B.-4,0) C.(0,1 D.-4,0)(0,1,考点二 函数的定义域 命题方向一 求给定解析式的函数的定义域,解析 (1)由2x-10得2x1,所以x0. (2)要使函数有意义,则有 即 解得-4x1 且x0,故选D.,典例3 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)= 的定义域为.,命题方向二 求抽象函数的定义域,答案
8、 0,1),解析 由 得0x1,即定义域为0,1).,1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子 (运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.,方法技巧,2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不等 式ag(x)b求出. (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上 的值域.,2-1 函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 ( A ) A. B. C. D.,解析 由题意可知 解得 所以- x1,故选A.,2-2
9、 若函数y=f(x)的定义域是1,2 016,则函数g(x)= 的定义域 是 ( B ) A.0,2 015 B.0,1)(1,2 015 C.(1,2 016 D.-1,1)(1,2 015,解析 要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12 016,解得0x2 015, 故函数f(x+1)的定义域为0,2 015.所以使函数g(x)有意义的条件是 解得0x1或1x2 015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1, 2 015.,典例4 (1)(2017北京西城二模,12)若函数 f(x)= 则 f =;方程f(-x)= 的解是 . (2)(2019北京西城高三期末,13)设函数f(x)= 则
10、ff(0)=;若方程f(x)=b有且仅有3个不同的实数根,则实数b的取值范 围是 .,考点三 分段函数 命题方向一 分段函数求值,解析 (1)f =log2 =-2.当x0,由f(-x)=log2(-x)= 可得x=- ; 当x0时,-x0,由f(-x)=2-x= 可得x=1, 故方程f(-x)= 的解是- 或1. (2)略.,答案 (1)-2;- 或1 (2) ;,典例5 (1)设函数f(x)= (a0且a1),若f(-2)= ,则f( )等于( D ) A. B. C. - D.0 (2)已知函数f(x)= 若f(a) ,则实数a的取值范围是 ( D ) A.(-1,0)( ,+) B.(
11、-1, ),命题方向二 求参数或自变量的值或范围,C.(-1,0) D.,解析 (1)由题意得f(-2)=a-2= ,解得a= ,所以f( )= - =0,故选D. (2)由题意知,若f(a) ,则 或 解得0a 或-1a0,即 实数a的取值范围是 ,故选D.,易错警示 (1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再 代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论. (2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应 根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验解得的自变量的值或范围 是否符合相应段的自变量的取值范围.,3-1 (2016北京东城二模)已知函数f(x)= 则 f(2+log23)的值 为 ( A ) A.24 B.16 C.12 D.8,解析 1log232, 32+log234, f(2+log23)=f(3+log23)= = =24.故选A.,3-2 设函数f(x)= 若f(m)=1,则实数m的值为 .,答案 1,解析 当m0时, f(m)=em+1, 则em+1=1,解得m=-1; 当0m1时, f(m)=sin(m)+1,则sin(m)+1=1, sin(m)=0,解得m=k(kZ), 则m=k(kZ),又0m1,m=1. 综上,m=1.,
