1、11.2.2 第 2 课时 组合的综合应用A 基础达标1有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A60 种 B70 种C75 种 D150 种解析：选 C.根据题意，知从 6 名男医生中选 2 名、从 5 名女医生中选 1 名组成一个医疗小组，不同的选法共有 C C 75(种)26152某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A14 种 B24 种C28 种 D48 种解析：选 A.法一：分两类完成：第 1 类，选派 1 名女生、3 名男生，有
2、 C C 种选派方案；12 34第 2 类，选派 2 名女生、2 名男生，有 C C 种选派方案2 24故共有 C C C C 14 种不同的选派方案12 34 2 24法二：6 人中选派 4 人的组合数为 C ，其中都选男生的组合数为 C ，所以至少有 1 名女生46 4的选派方案有 C C 14 种46 43将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A12 种 B18 种C36 种 D54 种解析：选 B.先将 1，2 捆绑后放入信封中，有 C 种放法，再将剩余的 4 张卡片
3、放入另外两13个信封中，有 C C (种)放法，所以共有 C C C 18(种)放法24 2 13 24 24(2018广东肇庆统测)平面内有 4 个红点，6 个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任意三点不共线，过这十个点中的任意两点所确定的直线中，至少过一个红点的直线的条数是( )A30 B29C28 D27解析：选 B.过一个红点有 C C 123(条)直线；过两个红点有 C 6(条)直线，所以共1416 24有 23629 条直线，故选 B.5某学校开设“蓝天工程博览课程” ，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的26 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两
4、个年级选择甲博物馆的方案有( )AA A 种 BA 54种26 45 25CC A 种 DC 54种26 45 26解析：选 D.因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有 C 种情况，26其余年级均有 5 种选择，所以共有 54种情况，根据分步乘法计数原理可得共有 C 54种情26况故选 D.6从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人担任奥运志愿者，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种解析：男生和女生共 7 人，从 7 人中选出 4 人，有 C 种选法若选出的 4 人都是男生，47有 C 种选法，故选出的 4 人中既有男生又有女生，共有 C C 34 种
5、不同的选法4 47 4答案：347(2018郑州高二检测)从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数中每次取 3 个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有_个解析：先选取 3 个不同的数，有 C 种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另 2 个不同36的数放在十位和个位上，有 A 种放法，故共有 C A 40 个三位数2 362答案：408艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到 A、 B、 C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有_种解析：(间接法)四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出
6、场馆至少派一人的方法种数为 C A 36，甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为 A 6，故不同的分派方案243 3有 36630(种)答案：309某志愿者小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定一名队长现从中选 5 人去参加志愿活动，下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选解：(1)一名女生，四名男生，故共有 C C 350(种)15 48(2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C C 165(种)2 31110有 12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，其他 5 人既会划左舷又会划右舷，现要从这 12 名
7、运动员中选出 6 人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种不同的选法？解：设集合 A只会划左舷的 3 人， B只会划右舷的 4 人， C既会划左舷又会划右舷的 5 人先分类，以集合 A 为基准，划左舷的 3 个人中，有以下几类情况： A 中有 33人； A 中有 2 人， C 中有 1 人； A 中有 1 人， C 中有 2 人； C 中有 3 人第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合 B， C 中选 3 人，有 C 种选法，同理39可得的选法种数故共 C C C C C C C C C C C 2 174 种不同的选法339 231538 132537 033536B 能力提升11(2
8、018蚌埠高二检测)如图是由 6 个正方形拼成的矩形图案，从图中的12 个顶点中任取 3 个点作为一组其中可以构成三角形的组数为( )A208 B204C200 D196解析：选 C.任取的 3 个顶点不能构成三角形的情形有 3 种：一是 3 条横线上的 4 个点，其组数为 3C ；二是 4 条竖线上的 3 个点，其组数为 4C ；三是 4 条对角线上的 3 个点，其组34 3数为 4C ，所以可以构成三角形的组数为：C 3C 8C 200，故选 C.3 312 34 312在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情
9、况有_种(用数字作答)解析：定向分配问题，先分组后分配将 8 张奖券分四组，再分配给 4 个人分四组有两种方法：一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 个人有 A 种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有4C 种分法，再分给 4 个人有 C A 种分法所以不同的获奖情况有 A C A 24366023 2324 4 2324种答案：6013(2018武汉高二检测)有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6与 7，8 与 9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：
10、法一：(直接法)从 0 与 1 两个特殊值着眼，可分三类：(1)取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C 种方法；0 可在后两位，有 C14种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有 C 种方法；又除含 0 的那张外，其他两张12 13都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C C C 22个141213(2)取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数有 C 22A 个24 3(3)0 和 1 都不取，有不同的三位数 C 23A 个34 3综上所述，共有不同的三位数：C C C 22C 22A C 23A 432 个141213 24 3 34 3法二：(间接法)任取三
11、张卡片可以组成不同的三位数 C 23A 个，其中 0 在百位的有 C35 322A 个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 23A C 22A 43224 2 35 3 24 2个14(选做题)已知 10 件不同产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4 件次品为止4(1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第 10 次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 种不同测试方法，再从 4 件次品中选 2 件排46在第 5 和第
12、 10 的位置上测试，有 C A A 种测法，再排余下 4 件的测试位置，有 A 种测242 24 4法所以共有不同测试方法 A A A 103 680 种46 24 4(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正品出现，所以共有不同测试方法 A (C C )A 576 种14 16 3 4两个计数原理与排列、组合(强化练)一、选择题1现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A7 种 B12 种C64 种 D81 种解析：选 B.要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从 4 件中任选
13、一件，有 4 种不同的选法；第二步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同的选法故共有 4312 种不同的配法2从 n 个人中选出两人，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为 72，则 n 的值为( )A6 B9C12 D15解析：选 B.因为 A 72，所以 n9.2n3将 4 名大学生分配到 A， B， C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案共有( )A36 种 B30 种C24 种 D20 种解析：选 C.根据题意，首先分配甲，有 2 种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个学校，有 A 6 种情况，3没
14、有人与甲在同一个学校，则有 C A 6 种情况；23 2则若甲要求不到 A 学校，则不同的分配方案有 2(66)24 种，故选 C.4有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有( )A72 种 B54 种5C48 种 D8 种解析：选 C.用分步乘法计数原理：第一步：先排每对师徒有 A A A ，2 2 2第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有 A 种，由分步乘法计数原理共有 A (A )3 3 2348 种5从 0，2，4 中取一个数字，从 1，3，5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A36 B42C48 D54解析：选 C.若从 0
15、，2，4 中取一个数字是“0” ，则“0”不放百位，有 C 种放法，再从121，3，5 中取两个数字放在其他两位，有 A 种放法，共组成 C A 12 个三位数；若从23 12 230，2，4 中取的一个数字不是“0” ，则有 C 种取法，再从 1，3，5 中取两个数字有 C 种12 23取法，共组成 C C A 36 个三位数所以所有不同的三位数有 123648(个)1223 36将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A80 B120C140 D50解析：选 A.首先选 2 个人放到甲组，共有 C 10 种结果，再把剩下的
16、 3 个人放到乙和丙25两个小组，每组至少一人，共有 C A 6 种结果，所以根据分步乘法计数原理知有23210660 种结果；当甲组中有三个人时，有 C A 20 种结果所以共有 602080 种352结果故选 A.7安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为( )A72 种 B96 种C120 种 D156 种解析：选 B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余三天丁值日，故有A 120 种，其中丁没有连续的安排，安排甲、乙、丙三位教师后形成了 4 个间隔，任选3
17、63 个安排丁，故有 A C 24 种，故丁至少要有两天连续安排 1202496 种，故选 B.3348某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教(每地至少 1 人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )A27 种 B30 种C33 种 D36 种解析：选 B.因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有 2，2，1 和 3，1，1 两种分配方案，2，2，1 方案：甲，丙为一组，从余下 3 人选出 2 人组成一组，然后排列，共有：C A2318 种；3，1，1 方案：在丁、戊中选出 1 人，与甲丙组成一组，然后排列，共有36C A 12 种；所以不同的选
18、派方案共有 181230 种故选 B.12 39用数字 0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )A324 个 B216 个C180 个 D384 个解析：选 A.个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有 C A C A C 90(个)；个23 3 14 3 13位、十位和百位上的数字为 1 个偶数、2 个奇数的有C A C C C A C 234(个)根据分类加法计数原理得到共有23 3 14 13 23 3 1390234324(个)故选 A.10在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息
19、，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为( )A10 B11C12 D15解析：选 B.由题意可分为 3 类第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有 C 种方法04第二类，有 1 个对应位置上的数字相同，有 C 种方法14第三类，有 2 个对应位置上的数字相同，有 C 种方法24故共有 C C C 11(条)，故选 B.04 14 24二、填空题11若 89，则 n_解析： ( n5)( n6)189，即 n211 n600，解得 n15 或 n4(舍去)答案：1512有 5 名男生和 2 名女生，从中选出 5 人分别
20、担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，则不同的选法共有_种解析：由题意知，从 7 人中选出 5 人担任 5 个学科科代表，共有 A 2 520(种)不同的选57法答案：2 52013(2018江西临川一中高二下学期月考)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂 1 种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同7的涂色的方法有_种解析：若 1，3 不同色，则 1，2，3，4 必不同色，有 3A 72(种) 涂色方法；若 1，3 同4色，有 C A 24(种)涂色方法根据分类加法计数原理可知，共有 722496(种)涂色14 3方法答案：9614
21、从7，5，2，1，1，2，5，7 中任取 3 个不同的数作为椭圆 ax2 by2 c0 的系数，则能确定的椭圆的个数为_解析：椭圆方程化为标准形式为 1.x2cay2cb由 0， 0，得 a， b， c 同号ca cb当 a， b， c 同为正数时，取三个不同的数有 A 种取法，可得 A 24 个椭圆34 34当 a， b， c 同为负数时，取三个不同的数有 A 种取法，可得 A 24 个椭圆，但此时每个34 34椭圆均与 a， b， c 同为正数时重复，如 a7， b5， c2 与 a7， b5， c2 对应的椭圆重复所以能确定的椭圆有 24 个答案：24三、解答题15现有 10 件产品，其
22、中有 2 件次品，任意取出 3 件检查(1)若正品 A 被取到，则有多少种不同的取法？(2)恰有一件是次品的取法有多少种？(3)至少有一件是次品的取法有多少种？解：(1)C 36(种)29982(2)从 2 件次品中任取 1 件，有 C 种取法，从 8 件正品中任取 2 件，有 C 种取法，由分步12 28乘法计数原理得，不同的取法共有 C C 2 56 种12 28872(3)法一：含 1 件次品的取法有 C C 种，含 2 件次品的取法有 C C 种，由分类加法计数1228 2 18原理得，不同的取法共有 C C C C 56864 种12 28 2 18法二：从 10 件产品中任取 3
23、件，取法有 C 种，不含次品的取法有 C 种，所以至少有 1310 38件次品的取法有 C C 64 种310 388167 名班委中有 A， B， C 三人，有 7 种不同的职务现对 7 名班委进行职务具体分工(1)若正、副班长两职只能从 A， B， C 三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选 A， B， C 三人中的一人担任，则有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有 A 种方法，再安排其余职务有 A 种方法由分步乘法计数原23 5理知共有 A A 720 种方法235(2)7 人的任意分工方案有 A 种， A， B， C 三人中无一人任正、副班长的分工
24、方案有 A A7 24种，因此 A， B， C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有 A A A 3 600(种) 5 7 24 5175 男 5 女共 10 个同学排成一行(1)女生都排在一起，有几种排法？(2)女生与男生相间，有几种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？(4)5 名男生不排在一起，有几种排法？解：(1)将 5 名女生看作一人，就是 6 个元素的全排列，有 A 种排法又 5 名女生内部有6A 种排法，所以共有排法 A A 86 400 种5 6 5(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有 2 种插法)，所以女生与男生相间共有排法 2A A 28 800 种
25、5 5(3)女生先排，女生之间及首尾共有 6 个空隙任取其中 5 个安插男生即可，因而任何男生都不相邻的排法共有 A A 86 400 种5 56(4)直接分类较复杂，可用间接法即从 10 个人的排列总数中，减去 5 名男生排在一起的排法数，得 5 名男生不排在一起的排法数为 A A A 3 542 400 种10 5618把 4 个男同志和 4 个女同志平均分成 4 组，到 4 辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同情况(1)有几种不同的分配方法？(2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？(3)男同志与女同志分别分组，有几种不同的分配方法？解：
26、(1)男女合在一起共有 8 人，每个车上 2 人，可以分四个步骤完成，先安排 2 人上第一个车，共有 C 种，再上第二个车共有 C 种，再上第三个车共有 C 种，最后上第四个车共28 26 24有 C 种，按分步乘法计数原理有 C C C C 2 520 种2 28 26 24 2(2)要求男女各 1 人，因此先把男同志安排上车，共有 A 种不同方法，同理，女同志也有4A 种方法，由分步乘法计数原理，车上男女各 1 人的不同分配方法为 A A 576 种4 4 4(3)男女分别分组，4 个男的平均分成两组共有 3 种，4 个女的平均分成两组也有3 种不同分法，这样分组方法就有 339 种，对于其中每一种分法上 4 辆车，又有 A 种上法，因而不同分配方法为 9A 216 种4 49
