1、1课时跟踪训练(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用(时间 45 分钟)题型对点练(时间 20 分钟)题组一 求线性回归方程1已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归方程为 x .若某同学根据上表中的前两组数据y b a (1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y b x a，则以下结论正确的是( )A. b， a B. b， a D. ， a2 .2 02 1 b a 答案 C2对变量 x， y 有观测数据( xi， yi)(i1,2，10)，得散点图(1)；对变量 u， v有观测数据( ui， vi)(i1,
2、2，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )2A变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关B变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关C变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关D变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关解析 夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关，总体呈下降趋势的属于负相关由这两个散点图可以判断，变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关，故选 C.答案 C3某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y(件) 90 84 83
3、80 75 68(1)求回归直线方程 x ，其中 20， ；y b a b a y b x (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解 (1)由于 (88.28.48.68.89)8.5，x 16 (908483807568)80.y 16所以 80208.5250，从而回归直线方程为 20 x250.a y b x y (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L x(20 x250)4(20 x250)20 x2330 x100020 2361.25.(x334)当且仅当
4、 x8.25 时， L 取得最大值故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润题组二 线性回归分析4对变量 x， y 进行回归分析时，依据得到的 4 个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )3解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高答案 A5在回归分析中，相关指数 R2的值越大，说明残差平方和( )A越大 B越小C可能大也可能小 D以上均错解析 因为 R21 ，所以当 R2越大时， (yi i)2越小，即残差ni 1 yi y i 2ni 1 yi y 2 ni 1 y 平方
5、和越小答案 B6通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为( )A第四个 B第五个 C第六个 D第七个解析 由题图可知第六个数据的偏差最大，故选 C.答案 C47在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格 x 元和日销售量 y 件之间的一组数据为：价格 x 元 22 20 18 16 14日销售量 y 件 37 41 43 50 56求出 y 关于 x 的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏参考数据： xiyi3992， x 1660.5i 15i 12i解 作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据因为 18，x
6、22 20 18 16 145 45.4.y 37 41 43 50 565所以 2.35，b 3992 51845.41660 518245.4(2.35)1887.7.a 所以回归方程为 2.35 x87.7.y yi i与 yi 的值如下表：y y yi iy 1 0.3 2.4 0.1 1.2yi y 8.4 4.4 2.4 4.6 10.6计算得 (yi i)28.3，5i 1 y (yi )2229.2，5i 1 y 所以 R21 0.964.8.3229.2因为 0.964 很接近于 1，所以该模型的拟合效果比较好题组三 非线性回归分析8若一函数模型为 ysin 2 2sin 1
7、，为将 y 转化为 t 的回归直线方程，则需做变换 t( )Asin 2 B(sin 1) 25C. 2 D以上都不对(sin 12)解析 因为 y 是关于 t 的回归直线方程，实际上就是 y 是关于 t 的一次函数，又因为 y(sin 1) 2，若令 t(sin 1) 2，则可得 y 与 t 的函数关系式为 y t，此时变量y 与变量 t 是线性相关关系故选 B.答案 B9在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度 y 与析出银的光学密度 x 由公式y Ae (b0)表示现测得试验数据如下： xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10yi 0.10 0.14 1.00
8、1.12 0.23 0.37xi 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47yi 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29试求 y 对 x 的回归方程解 由题意知，对于给定的公式 y Ae (b0)两边取自然对数，得 lnyln A ，与bx bx线性回归方程相对照可以看出，只要取 u ， vln y， aln A，就有 v a bu.1x这是 v 对 u 的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数 b 和 a.题目中所给的数据由变量置换 u ， vln y，变为如下表所示的数据.1xui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.00
9、0vi 2.303 1.966 0 0.113 1.470 0.994ui 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128vi 0.174 0.223 0.528 0.236 0.255可求得 b0.146， a0.548， 0.5480.146 u.v 综合提升练(时间 25 分钟)一、选择题61如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )解析 选项 A 与 B 中的残差图都是水平带状分布，并且选项 B 的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以 B 中回归模型的拟合效果最好，选 B.答案 B2某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：广告费用 x(万
10、元) 4 2 3 5销售额 y(万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程 x 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售y b a b 额为( )A63.6 万元 B65.5 万元C67.7 万元 D72.0 万元解析 样本点的中心是(3.5,42)，则 429.43.59.1，所以回归直a y b x 线方程是 9.4 x9.1，把 x6 代入得 65.5.y y 答案 B3某饮料店的日销售收入 y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：度)之间有下列数据：x 2 1 0 1 2y 5 4 2 2 1甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了 x 与 y 之间
11、的三个线性回归方程： x2.8， x3， 1.2 x2.6；其中正确的是( )y y y 7A B C D解析 回归方程 x 表示的直线必过点( ， )，即必过点(0,2.8)，而给出的y b a x y 三个线性回归方程中，只有表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是，故选 A.答案 A二、填空题4在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数 R20.85，则表明气温解释了_的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的_，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多解析 由相关指数 R2的意义可知， R20.85 表明气温解释了 85%，而随机误差贡献了剩余的 15%.答案 85%
12、15%5某种商品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下关系：(单位：万元)x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70y 与 x 的线性回归方程为 6.5 x17.5，当广告费支出 5 万元时，残差为_y 解析 当广告费 x5 时， 6.5517.550，残差为 605010.y 答案 10三、解答题6在一段时间内，某种商品的价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据为：价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2需求量 y 12 10 7 5 3(1)画出散点图；(2)求出 y 对 x 的线性回归方程；(3)如果价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少解 (1)散点图
13、如图所示8(2)采用列表的方法计算 与 .a b 91.8，x 15 377.4，x 15 11.5，b 5i 1xiyi 5x y 5i 1x2i 5x 2 62 51.87.416.6 51.82 7.411.51.828.1，a y b x 所以 y 对 x 的线性回归方程为 x28.111.5 x.y a b 9(3)当 x1.9 时， 28.111.51.96.25(t)，y 所以价格定为 1.9 万元时，需求量大约是 6.25 t.7已知某种商品的价格 x(单位：元/件)与需求量 y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22y 12 10 7 5 3求
14、y 对 x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏解 (1416182022)18， (1210753)7.4，x 15 y 15x 14 216 218 220 222 21660，5i 12iy 12 210 27 25 23 2327，5i 12ixiyi14121610187205223620，5i 1所以 1.15，b 5i 1xiyi 5x y 5i 1x2i 5x 2 620 5187.41660 51827.41.151828.1，a 所以所求回归直线方程是 1.15 x28.1.y 列出残差表：yi iy 0 0.3 0.4 0.1 0.2yi y 4.6 2.6 0.4 2.4 4.4所以 (yi i)20.3，5i 1 y (yi )253.2，5i 1 y 10R21 0.994，5i 1 yi y i 25i 1 yi y 2所以回归模型的拟合效果很好
