1、- 1 -2019 届高三数学上学期 1 月教学质量测评试题 理本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1设 是虚数单位，则复数 的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）i 2019izA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设非空集合 ， 满足 ，则（ ）MNA ，xB ，有C ，有00xD ，有xNM3下列说法正确的是（ ）A 是 的充要条件2ablnB对于非零 ， ，若 ，若 与 的夹角为锐角0abbC不等式 的解集为23x 3xD相关指数
2、 越接近 ，表示残差平方和越小R14黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，约为 ，这一数值也可表示为 ，则520.682cos7a（ ）21sin74aAB 1- 2 -C 12D 45已知双曲线 的两条渐近线所成的锐角为 ，则双曲线的离21:0,xyab60心率为（ ）A 23BC 或23D以上都不对6已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）0.8log4a0.3log2b0.4cabcA cbBC aD bc7 “孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要的定理，又称中国余数定理，最早可见中国南北朝时期的数学
3、著作孙子算经卷下第二十六题，讲的就是关于整除的问题若正整数 除以正整数 的余数为 ，则记为 ，例NmnmodNn如 下面的问题也是关于整除的问题，执行如图所示的程序框图，则输出72mod5的 ， 的值分别为（ ）xy- 3 -A ，2B ，31C ，D ，28若 的展开式中含有常数项，当 取最小值时，常数项的值为（ ）321nxnA 6B 45CD 369已知 ， ，若对 ，sincos0,fxmx2tangx1xR，使得 成立，若 在区间 ，上的值域为 ，20,412fgx f0,2则实数 的取值不可能是（ ）A 12B 3C 1D 410已知抛物线 的方程为 ，过焦点 作直线 交抛物线于
4、， 两点，线段24xyFlAB的垂直平分线交 轴于点 ，若 ，则 的值为（ ）ABD6ABEDA 2BC 3D 211如图，某几何体的三视图如图所示，其俯视图、侧视图均为直角三角形，其外接球的表面枳为 ，则图中的边长 的值为（ ）8a- 4 -A 1B 2CD12已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则eln2fxmxn0fx ,的最大值为（ ）nmA e4B 2C eD二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是sinfx230ftft t_14已知点 为不等式 ，所表示的可行域内任意一点，点 的坐标为P0,2yx M， 为坐标原点，则 的最大值为_1
5、,3OMOP15已知圆 ，点 的坐标为 过点 作直线 交圆 于 ，2:69Cxy2,4,0NlCA两点，则 的最小值为_BAB16在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 的面积为 CabcAB- 5 -，且 恒成立，则 的最小值为_234Sa20bck k三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （12 分）设正项数列 的前 项和为 ，首项为 ，已知对任意的正整数 ， ，当nnS1nm时， 恒成立nm2mnS（1）求证：数列 是等比数列a（2）设 ，求数列 的前 项和1nnbn18 （12 分）如图，在四棱锥 中， ，底面四边形 为直角梯形，PABCDAABCD，
6、， ， 为线段 上一点ADBC 90MP（1）若 ，则在线段 上是否存在点 ，使得 平面 若存在，请确3PBMA ?PCD定 点的位置；若不存在，请说明理由M（2）已知 ， ，若异面直线 与 成 角，二面角 的2A1DC90B余弦值为 ，求 的长10C19 （12 分）第 届世界军人运动会将于 年 月 日至 日在湖北武汉举行，赛期72019827天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 个大项， 个小项届时，将有来自10739多个国家的近万名现役军人同台竞技为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民武汉市体育
7、局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取 名幸运参与20者，他们得分（满分 分）数据，统计结果如下：10组别 3,4,5,60,70,8,9,1频数 45420- 6 -（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表） ，求 ， 的值20（ ， 的值四舍五入取整数） ，并计算 5193PX（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得 次抽奖机会，得分不低于 的可获得次抽
8、奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为 元的纪念品 的概为 ；抽中价值为15A23元的纪念品 的概率为 现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，30B13记 为他参加活动获得纪念品的总价值，求 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品YY所需要的总金额（参考数据： ；0.6827PX； 22.954 330.97PX20 （12 分）已知椭圆 离心率为 ，点 ， 分别为椭圆 的2:10xyCab121A2C左、右顶点，点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点过点 任作一条不与 轴垂直的1FFy直线与椭圆 交于 ， 两点， 的周长为 N1MNF 8（1）求椭圆 的方程C（2）若直线 ， 交于点 ，试判断
9、点 是否在某条定直线 上若是，求1AM2NDxt出 的值；若不是，请说明理由t21 （12 分）函数 （ 为常数）的图象与 轴有唯一公共点 1exfa M（1）求函数 的单调区间（2）若 ，存在不相等的实数 ， ，满足 ，证明：a1x212fxf- 7 -120x请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程已知曲线 的直角坐标方程为 ，在以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴的极1C2xyOx坐标系中，曲线 的极坐标方程为 2cos（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的参数方程12C（2）已知射线 与曲线 ， 的交点分别
10、为 ， ，当:0,lykx 12AB为 时，求 的值OAB23 （10 分）选修 ：不等式选讲45已知函数 ， 的解集为 2fxxa6f 06x 或 （1）求 的值a（2）若 的最小值为 ，且两正数 ， 满足 ，求证：ftmn2t49mn华大新高考联盟 2019 届高三 1 月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题1A2B3D4C5C6B7B8C- 8 -9A10C11C12D二、填空题13 12t 14 615 816 43三、解答题17 （1）令 ， ，则 ，1mn2 12nnSS即 ，2a又 满足上式，故 1 1*naN（2） ，设 ，则nb12nnTb，0121357T，3n
11、n两式相减得： ，12312nn 所以 ，23nnnT整理得： *1nN18 （1）延长 ， 交于点 ，连接 ，则 平面 BACDEPEPCD若 平面 ，由平面 平面 ，M PB平面 ，则 由 ， ， 13AB- 9 -则 ，故点 是线段 上靠近点 的一个三等分点13PMEABPB（2）因为 ， , ，DCAD平面 ， 平面 ，则 平面 ，ABC以点 为坐标原点，以 ， 所在的直线分别为 轴、 轴，APyz过点 与平面 垂直的直线为 轴，Px建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，0,2,10D,Ct1,0Bt则 ， ， ,BC,2Pt,Dt设平面 和平面 的法向量分别为 ， P11,
12、xyzn22,xyzn由 ， 得 即1BCn110,BCP1120,txyz令 ，则 ，故 1x12tz1,2n同理可求得 ，0,于是 ，即 ，12cosn2105tt解之得 （负值舍去） ，故 ，tt所以 2CD- 10 -19 350.24.150.265.EX7.89222610.D250.750.52819由 ，则 ，19641而 ，故 ，24.50.则 服从正态分布 X65,N1932PPX220.954.6870.1（2）显然， ，12PX所有 的取值为： ， ， ， Y53460，12，730318P，24529Y16- 11 -的分布列为YY15304560P782918172
13、53046891EY总费用为： 220由 的周长为 得： ，即 1MNF a由离心率 知 ，故 2cea34b2所以椭圆的方程为 1xy（3）设 ，与椭圆:MNR2:143xyC联立得： ，24690y由韦达定理得： ， ，12234122934y直线 与11:yAMx2:ANx联立得： ，2121yxyx将 ， 代入整理得：1212121248463yyyx即 ，2298346y即直线 与 的交点 的横坐标为 ，1AMND故点 在直线 上，所以 D4x4t21函数 的定义域为 ，且 ，fR0f- 12 -由题意可知，曲线 与 轴存在公共点 ，fx0,M又 ，1exfa若 ， ， 单调递增；0
14、a ffx若 ，由 得 ，01lna当 时， ， 单调递减；,1lnxafxfx当 时， ， 单调递增当 ，即 时，l0e的极小值为 ，fxf曲线 与 轴只有一个公共点，符合题意；当 ，即 时，1ln0a1e由基本结论“ 时， ”，x2x1lnaa知 212 0eaf又 ln0f由零点存在定理知，此时的函数 在区间 有一个零点，fx1ln,2a则 与 轴有两个公共点，与条件不符，舍去；f当 ，即 时，1ln0ae设 ， ，1m210am则 ，0ea即 ， 1ln11ee0aaf又 l0faf由零点存在定理知，- 13 -此时函数 在区间 有一个零点，fx1,lnea则 与 轴有两个公共点，与条
15、件不符，舍去；f综上所述， 时， 的单调递增区间为 ，1eafx0,单调递减区间为 ,0当 时， 单调递增区间为 ，无单调递减区间0 fx,（2） 时， ，a1e2x由 得12fxf，1 21eeexx所以 ，121120x由基本不等式知 ，1212eex即 ，1212e0xx即 ，即 ，12f120xff而 在 单调递增，故 ，所以 fx,12120x22 （1）由 得 ，即 ，2y2cosincosin所以曲线 的极坐标方程为 ；1C由 得 ，2cs2cs即 ，即 ，0xy21xy令 ，则 ，1cossiny故曲线 的参数方程为： （ 为参数）2Ccos,i.x（2）设射线 的倾斜角为 ，
16、l- 14 -则射线 的参数方程为 （ 为锐角， 为参数） ，lcos,inxtyt将 的参数方程代入曲线 的普通方程得： ，l 1C2cossint解得 ， ，10t2sicot所以 ，222inisOAt将 的参数方程代入曲线 的普通方程得 ，l 2C2cos0t解得 ， ，10t2cost所以 ，OB所以 ，2sincs2tanoAk所以 ，即 2k123 （1）由 得 ，6fx 6x因其解集为 ，0 或 则必要条件是：2,66a即 解之得： ，2,4a4经检验，当 时， ，2fxx由绝对值的几何意义易知 解集为 ，6 06x 或 故 符合题意4a（2） ，所以 ，24242fxxx t故 ，则 4mn1189524mnmn- 15 -
