1、1吉林省四平四中 2019 届高三数学第二次模拟考试题 文注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡
2、 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019肇庆统测若复数 z满足 12i，则 z（ ）A 2B 32C 10D 1222019武汉六中设集合 254AxxN，集合 0,B，则 AB（ ）A 0,1B 0,C D 1,32019海淀八
3、模如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）A2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大C2008 年以来我国实际利用外资同比增速最大D2010 年以来我国实际利用外资同比增速最大42019湘潭一模已知数列 na是等比数列，其前 n项和为 nS， 23a，则 3412（ ）A 14B 12C2 D452019河南名校联考已知函数 32fxabxc的图象的对称中心为 0,1，且 fx的图象在点 1,f处的切线过点 2,7，则 （ ）A1 B2 C3 D462019肇庆统测已知 A 的边 B上有一点
4、满足 3BC，则 A可表示为（ ）A 34DCB 14AC 21BD 572019遵义联考如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A 32B 4C 3D 582019滨州期末已知抛物线 2:4yx的焦点为 F，准线为 l， P是 l上一点， Q是 PF直线与抛物线 C的一个交点，若 3PFQ，则 （ ）A3 B 8C4 或 83D3 或 492019宁德期末已知函数 32,0lnxf，若函数 gxfxa有 3 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）A 0,2B 0,1C ,2D ,1102019衡水中学如图在圆 O中， AB， D是圆 O互相垂直的两条直径，现分
5、别以 OA，OB， C， D为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 1B 12C 12D 142112019湖北联考椭圆 ： 20xyab与双曲线 ： 0,xymnn焦点相2同， F为左焦点，曲线 与 在第一象限、第三象限的交点分别为 A、 B，且 23F，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A 20xyB 20xyC 20xyD 20xy122019丰台期末如图，在棱长为 2 的正方体 1ABC中， E， F， G分别是棱 AB，BC， 1的中点， P是底面 AD内一动点，若直线 P与平面 不存在公共点，则三角形P的面积的最小值为
6、（ ）A 2B1 C 2D 2二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 132019驻马店期中设变量 x， y满足约束条件：30xy，则目标函数 2zxy的最大值为_142019呼和浩特调研已知数列 na满足 1， 12na，则数列 na的通项公式na_152019宜昌调研已知直线 60xy与圆 C： 220xy相交于 A、 B两点，则 ACB_162019黄山八校联考不等式 2cos3inax对 xR恒成立，则实数 a的取值范围是_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明
7、、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）2019镇江期末在 ABC 中，角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，且cos3cosBbCa（1）求 的值；（2）若 2CAB， AC 的面积为 2，求边 b18 （12 分）2019龙岩期末如图所示，已知正方体 1ABCD的棱长为 2， M， N分别是 1AD， 1C棱的中点（1）证明： BN平面 MD；（2）求三棱锥 的体积319 （12 分）2019海淀期末为迎接 20年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核记 X表示学生的考核成绩，并规定 85X为考核优秀为了了解本次培训活动的
8、效果，在参加培训的学生中随机抽取了 30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：5 0 1 1 66 0 1 4 3 3 5 87 2 3 7 6 8 7 1 78 1 1 4 5 2 99 0 2 1 3 0（1）从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足 80,9X的学生中任取 2人，求至少有一人考核优秀的概率；（3）记 Pab表示学生的考核成绩在区间 ,ab内的概率，根据以往培训数据，规定当8510.X时培训有效请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由20 （12 分）2019德州期末已知椭圆 2:1
9、0xyCab，点 31,2M在椭圆 C上，椭圆C的离心率是 12（1）求椭圆 的标准方程；（2）设点 A为椭圆长轴的左端点， P， Q为椭圆上异于椭圆 C长轴端点的两点，记直线 AP，Q斜率分别为 1k， 2，若 124k，请判断直线 P是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由421 （12 分）2019湘潭一模已知函数 2exfa（1）证明：当 2lna时， x的导函数 f的最小值不小于 0；（2）当 0x时， 1fx恒成立，求实数 a的取值范围请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分
10、22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】2019哈尔滨三中在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的方程为 2ykx， R以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 cos6in80（1）求 2C的直角坐标方程；（2）若 1与 有四个公共点，求 k的取值范围23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】2019揭阳毕业已知函数 2fxax（1）当 2a时，求不等式 f的解集；（2）当 ,x时，不等式 fx恒成立，求 a的取值范围52019 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 卷文 科 数 学 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题
11、 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 1 【答案】C【解析】依题意 12ii31i2z，2310z，故选 C2 【答案】A【解析】集合 2540150,1234xxxNN，集合 0,2B，则 0,12B故选 A3 【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000 年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项 A 错误；我国实际利用外资规模 2012 年比 2011 年少，选项 B 错误；从图表中的折线可以看出，2008 年实际利用外资同比增速最大，选项 C 正确；200
12、8 年实际利用外资同比增速最大，选项 D 错误；故选 C4 【答案】A【解析】由题意得， 2123Sa， 1a，公比 2q，则 23411aq，故选 A5 【答案】A【解析】函数 32fxbxc的图象的对称中心为 0,， 2fxf， 12ff，即 14a，得 0a， 3fxb， 23fxb，又 的图象在点 1,处的切线过点 2,7， 712ff，即 53b，解得 1，故选 A6 【答案】A【解析】画出图像如下图所示，故 3313444ADBABCABAC，故选 A7 【答案】C【解析】根据三视图得出：几何体为下图 AD， B， G相互垂直，面 AEFG面 BDE， C ， 3， 1E，根据几何
13、体的性质得出： 32AC， 22373G， 2345GE，32BG， 4E， 10F， 0E，故最长的为 3故选 C8 【答案】B【解析】设 Q到 l的距离为 d，则由抛物线的定义可得 QFd， 3PF， 4P， 1Qx，直线 的斜率为265d，抛物线方程为 24yx， 1,0F，准线 :1lx，直线 PF的方程为 5，与 24y联立可得 53Qx或 （舍去） ， 813Qd，故选 B9 【答案】A【解析】绘制出 fx的图像， fxa有 3 个零点，令 hxa与 f有三个交点，则 h介于 1 号和 2 号之间，2 号过原点，则 0a，1 号与 fx相切，则 231fx， x， 1y，代入 hx
14、中，计算出 2a， a的范围为 0,2，故选 A10 【答案】C【解析】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形 EFMN，易知四边形 EFMN为正方形，设圆 O的半径为 r，则正方形 EFMN的边长也为 r，正方形的 EFN的面积为 2r，阴影部分的面积为22 2rr，阴影部分占总面积的比值为21r，即在圆 O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 12，故选 C11 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为 1F，由题意点 A与点 B关于原点对称，因此 1AFB，又 23AFB， 3A；由椭圆与双曲线定义可得 12a， 12Fm， am， 1a，根据余弦定理可得 222111cosFAA
15、，即 22 4 3caam，化简得 2224333cmama，离心率乘积为 c，当且仅当 2（1 ）时，去等号;由 22abn， 2243bn， 23bn（2） ，再将（1） （2）代入 am可得 2，双曲线的渐近线方程为 0xy或 0xy，故选 C12 【答案】C【解析】延展平面 EFG，可得截面 EFHQR，其中 、 、 R分别是所在棱的中点，直线 1DP与平面 EFG不存在公共点， 1DP 平面 EFGHQR，由中位线定理可得 AC ， 在平面 内， AC在平面 EFR外， A 平面 HQR， 1DP与 在平面 1D内相交，平面 1D 平面 GHQ， 在 C上时，直线 P与平面 EFG不
16、存在公共点， BO与 A垂直， 与 O重合时 B最小，此时，三角形 1的面积最小，最小值为 12，故选 C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13 【答案】 92【解析】作出变量 x， y满足约束条件：30xy可行域如图，由 2zxy知， 12zx，动直线 的纵截距 取得最大值时，目标函数取得最大值由 30xy得 3,2A结合可行域可知当动直线经过点 3,2时，目标函数取得最大值 392z故答案为 9214 【答案】 1n【解析】 a， 2na， 12， 32， 34， 12na ，等式两边分别累加得： 121nna ，故答案为 21n
17、15 【答案】 60【解析】圆 C： 220xy的圆心 C： 1,，半径 2r，圆心 到直线 6的距离为63d， 2ABrd，三角形 ABC为等边三角形， 60ACB故答案为 6016 【答案】 3,12【解析】令 sinxt， t，则原函数化为 23gat，即 3gtat，由 3att， 10tt，130tat及 1t知， 130at，即 23at， （1）当 0， 时（ 1）总成立，对 t， 2t， 2max3t；对 10t， 04t， in12t，从而可知 312a，故答案为 3,三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明
18、 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 【答案】 （1） 3；（2） 3b【解析】 （1）由 coscosBCaB及余弦定理得：22222acbab，整理得 223acb，由余弦定理得2213cosaccB（2）在 AC 中， 0,，又 osB，221sin1cos3B，由 CA得 A，即 c，由 1sin2SacB可得 3a，由余弦定理得 21cos329bB， 318 【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】 （1）证明：取 1D的中点 H，连接 A、 N， H、 N是中点， HAB ，四边形 ABNH是平行四边形， AHBN ， CD平面 1， 平面 1D， CAH，又 M是棱
19、的中点， M ， 90AH， AH，又 CD， 平面 CD，又 BN ， 平面 （2）由题意可知 ABMNABV， H ， HMHV， AB平面 1D， 是高且 2，又 3221MHS ， 33BAAHVB ，三棱锥 N的体积为 119 【答案】 （1） 70；（2） 5；（3）见解析【解析】 （1）设这名学生考核优秀为事件 A，由茎叶图中的数据可以知道， 0名同学中，有 7名同学考核优秀，所求概率 PA约为 73（2）设从图中考核成绩满足 80,9X的学生中任取 2人，至少有一人考核成绩优秀为事件 B，表中成绩在 80,9的 6人中有 2个人考核为优 基本事件空间 包含 15个基本事件，事件
20、 B包含 9个基本事件 315PB（3）根据表格中的数据，满足 8510X的成绩有 6个， 861.03XP可以认为此次冰雪培训活动有效20 【答案】 （1）2143xy；（2）过定点 1,0【解析】 （1）由点 ,M在椭圆 C上，且椭圆 的离心率是 12，可得2194abc，可解得22431abc，故椭圆 C的标准方程为2143xy（2）设点 P， Q的坐标分别为 1,xy， 2,，（i）当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得 31,2P， ,Q，（ii）当直线 的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 ykxm，联立2143xykm，消去 y得 22438410kxkm，由 2
21、222613，有 2243km，由韦达定理得： 122843kx， 124xk，故 122yk，可得 120yx，可得 1124 0xmkx，整理为 2 21244m，故有 2284 033kk，化简整理得 20mk，解得： 或 k，当 k时直线 PQ的方程为 ykx，即 2yx，过定点 2,0不合题意，当 时直线 的方程为 ，即 1k，过定点 1,，综上，由（i） （ii）知，直线 过定点 ,021 【答案】 （1）见证明；（2） ,e1a【解析】 （1）证明： e2xf，令 e2xga，则 xg则当 ,ln时， 0，当 ln2,时， 0gx函数 gx，即 f在 lx取得最小值， l2lnf
22、a（2）解：当 0时， 2e1ax，即 e1xa令 e1xhx，则 22e1xh令 e10x，则 e10x当 0,时， 单调递增， 则当 ,1x时， 0hx， hx单调递减当 ,时， ， 单调递增 min1ehx， ,e1a请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 【答案】 （1） 223xy；（2） 7k【解析】 （1）由 22， cosx， siny，代入曲线 2C的极坐标方程可得 2680y，因此，曲线 的普通方程为 213x（2）将曲线 1的方程可化为 ,kxy，由于曲线 1C与曲线 2有四个公共点，直线 0kxyx与曲线 2C相交且直线 20kxyx与曲线 2C相交，则有 231，化简得 670k，解得 1或 7，2k，化简得 2，解得 k或 ， 7或 ，综上所述，实数 k的取值范围是 7k23 【答案】 （1） 4,3,；（2） 12a【解析】 （1）当 2x时， 6fxx，解得 4x，当 2时， 3f，解得 23，当 x时， 262fxx，解得 x，综上知，不等式 的解集为 4,3,（2）当 2,x时， 2212fxaxaxa，设 gf，则 ,， 0g恒成立，只需 20， 即 6042a，解得 12a
