1、1学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 ABC 中，已知 2a2 c2( b c)2，则 A 的值为( D )2A30 B45C120 D135解析 由已知得 2a2 c22 b2 c22 bc，2 a2 b2 c2 bc， b2 c2 a2 bc，2 2又 b2 c2 a22 bccosA，2 bccosA bc，cos A ， A135.2222在首项为 81，公差为7 的等差数列中，值最接近零的项是( C )A第 11 项 B第 12 项C第 13 项 D第 14
2、项解析 由 an a1( n1) d，得 an7 n88，令 an0，解得 n 12 .887 47而 a124， a133，故 a13的值最接近零3在 ABC 中， A60， a ， b4.满足条件的 ABC( A )6A无解 B有一解C有两解 D不能确定解析 4sin602 ，3 12 B，则一定有( B )Acos AcosB Bsin AsinB2Ctan AtanB Dsin AB， ab，由正弦定理，得 sinAsinB，故选 B6已知等腰三角形 ABC 的腰长为底长的 2 倍，则顶角 A 的正切值是( D )A B32 3C D158 157解析 不妨设 ABC 的底边 BC a
3、，则 AB AC2 a，由余弦定理，得 cosA . 2a 2 2a 2 a222a2a 78则 sinA .1 cos2A158故 tanA .sinAcosA 1577已知数列 an中， a11，以后各项由公式 a1a2a3an n2给出，则 a3 a5等于( C )A B259 2516C D6116 3115解析 由 a1a24，得 a24，由 a1a2a33 2，得 a3 .94 a1a2a3a44 2，又 a1a2a3a4a55 2，4 2a55 2， a5 ， a3 a5 .2516 94 2516 61168在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 a
4、bc， a20， Abc， ABC3又 A B C， A ，故选 C 392 4 8 1 024 等于( A )12 14 18 11 024A2 046 B2 0071 0231 024 1 0231 024C1 047 D2 04611 024 11 024解析 2 4 8 1 02412 14 18 11 024(2481 024)( )12 14 18 11 024 2 1121( )102 1 2101 2121 12 101 12 122 046 2 046 2 046 .210 1210 1 0231 024 1 0231 02410设 f(n)22 42 72 102 3n10
5、 (nN *)，则 f(n)等于( D )A (8n1) B (8n1 1)27 27C (8n3 1) D (8n4 1)27 27解析 解法一：令 n0，则 f(n)22 42 72 10 21 23 41 23 2 1 841 8(841)，对照选项，只有 D 成立27解法二：数列 2,24,27,210，2 3n10 是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，项数为n4， f(n) (8n4 1)2 1 8n 41 8 2711如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为
6、 45，若 CD50 m，山坡对于地平面的坡角为 ，则 cos 等于( C )4A B232 3C 1 D322解析 在 ABC 中，由正弦定理可知，BC 50( )(米 )ABsin BACsin ACB 100sin15sin 45 15 6 2在 BCD 中，sin BDC 1.BCsin CBDCD 50 6 2 sin4550 3由题图，知 cos sin ADEsin BDC 1.312若 ABC 的三边为 a、 b、 c， f(x) b2x2( b2 c2 a2)x c2，则函数 f(x)的图象( B )A与 x 轴相切 B在 x 轴上方C在 x 轴下方 D与 x 轴交于两点解析
7、 函数 f(x)相应方程的判别式 ( b2 c2 a2)24 b2c2(2 bccosA)24 b2c24 b2c2(cos2A1)00，( )( ) ，an 1 an an 1 an an 1 an6 1.an 1 an数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列an(2)由(1)知 1 n1 n，an an n2.19(本题满分 12 分)在 ABC 中， a、 b、 c 分别为内角 A、 B、 C 的对边，若 m(cos 2，1)， n(cos 2(B C)，1)，且 m n.A2(1)求角 A；(2)当 a6，且 ABC 的面积 S 满足 时，求边 c 的值和 ABC 的面积3a2 b2
8、 c24S解析 (1)因为 m n，所以 cos2(B C)cos 2 cos 2Acos 2 cos 2A 0，A A cosA 12即 2cos2Acos A10，(2cos A1)(coa A1)0.所以 cosA 或 cosA1(舍去)，因为 0A180，所以 A120.12(2)由 及余弦定理，得 tanC ，因为 0C180，所以 C30，3a2 b2 c24S 33所以 B1801203030.又由正弦定理 ，得 c 2 .asinA csinC 6sin30sin120 3所以 ABC 的面积 S acsinB 62 sin303 .12 12 3 320(本题满分 12 分)
9、已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn an1( nN *)32(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2log 3 1，求 .an2 1b1b2 1b2b3 1bn 1bn解析 (1)当 n1 时， a1 a11， a12.32 Sn an1， 32Sn1 an1 1( n2)， 32得 an( an1)( an1 1)，即 an3 an1 ，32 32数列 an是首项为 2，公比为 3 的等比数列， an23 n1 .7(2)由(1)得 bn2log 3 12 n1，an2 1b1b2 1b2b3 1bn 1bn 113 135 1 2n 3 2n 1 (1 )( )( ) .
10、12 13 13 15 12n 3 12n 1 n 12n 121(本题满分 12 分)已知 A， B， C 为 ABC 的内角，tan A，tan B 是关于方程x2 px p10( pR)的两个实根3(1)求 C 的大小；(2)若 AB3， AC ，求 p 的值6解析 (1)由题意知方程 x2 px p10 的判别式 ( p)24( p1)3 33 p24 p40，所以 p2，或 p .23由韦达定理，有 tanAtan B p，tan AtanB1 p，3所以 1tan AtanB1(1 p) p0，从而 tan(A B) .tanA tanB1 tanAtanB 3pp 3所以 tan
11、Ctan( A B) ，3所以 C60.(2)由正弦定理，得 sinB ，ACsinCAB 6sin603 22解得 B45或 B135(舍去)于是， A180 B C75.则 tanAtan75tan(4530) 2 ，tan45 tan301 tan45tan301 331 33 3所以 p (tanAtan B) (2 1)1 .13 13 3 322(本题满分 12 分)用分期付款的方式购买一批总价为 2 300 万元的住房，购买当天首付 300 万元，以后每月的这一天都交 100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为 1%.若从首付 300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个
12、月，问分期付款的第 10 个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？解析 购买时付款 300 万元，则欠款 2 000 万元，依题意分 20 次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列 an，8故 a11002 0000.01120(万元)，a2100(2 000100)0.01119(万元)，a3100(2 0001002)0.01118(万元)，a4100(2 0001003)0.01117(万元)，an1002 000100( n1)0.01121 n(万元) (1 n20， nN *)因此 an是首项为 120，公差为1 的等差数列故 a1012110111(万元)，a2012120101(万元)20 次分期付款的总和为S20 2 210(万元) a1 a20 202 120 101 202实际要付 3002 2102 510(万元)即分期付款第 10 个月应付 111 万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付 2 510 万元
