1、1综合学业质量标准检测一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 ABC 中，若 B120，则 a2 ac c2 b2的值( C )A大于 0 B小于 0C等于 0 D不确定解析 根据余弦定理，得 cos120 ，a2 c2 b22ac 12即 a2 c2 b2 ac.故 a2 ac c2 b202若 122 22 n128， nN *，则 n 的最小值为( B )A6 B7C8 D9解析 122 22 n2 n1 12 n1 11282 7， n17， n6又 nN *， n 的最小值为 73(20182019
2、学年山东寿光现代中学高二月考)不等式( x )( x)0 的解集是12 32( A )A x| x B x|x 或 x 12 32 12 32C x| x D x|x 或 x 12 32 12 32解析 ( x )( x)0，12 32( x )(x )0，12 32 x ，故选 A12 324已知数列 an中的首项 a11，且满足 an1 an ，则此数列的第三项是( C )12 12nA1 B12C D34 58解析 a11， an1 an ， a2 a1 1， a3 a2 ，选 C12 12n 12 12 12 14 3425已知 A 为 ABC 的一个内角，且 sinAcos A ，则
3、 ABC 的形状是( B )23A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不确定解析 解法一：sin Acos A ，(sin Acos A)232 ，2sin AcosA 4 22 13sin Acos A sin(A )1 2 4 23与条件矛盾， A .故选 B 26(2016北京理，5)已知 x、 yR，且 xy0，则( C )A 0 Bsin xsin y01x 1yC( )x( )y012 12解析 解法一：因为 xy0，选项 A，取 x1， y ，则 121y0，所以 x0，且 a1， b1，若 logab1，则( D )A( a1)( b1)0C( b1)( b a)0解析 根
4、据题意，log ab1logablogaaError!或Error!当Error! 时，0a1， b10， b a0( b1)( b a)0，故选 D9设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a2 a7 a1224，则 S13( C )A52 B78C104 D208解析 由等差数列的性质得a2 a7 a123 a724， a78， S13 13 a7，故选 C13 a1 a132 132a7210从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角是 60；从电视塔的西偏南 30的 B 处，测得塔顶仰角为 45， A、 B 间距离是 35 m，则此电视塔的高度是( A )A5 m B10 m21
5、C m D35 m4 90013解析 作出示意图，设塔高 OC 为 h m，在 Rt AOC 中， OA h， OB hhtan60 33AB35， AOB150，由余弦定理得 352( h)2 h22 hhcos150，33 33解得 h5 .故选 A2111已知直线 ax by60( a0， b0)被圆 x2 y22 x4 y0 截得的弦长为 2 ，5则 ab 的最大值是( B )4A9 B92C4 D52解析 圆的标准方程为( x1) 2( y2) 25，直线截圆所得的弦长为 2 ，等于直5径，直线 ax by60 过圆心，即 a2 b60.又 a0， b0，由基本不等式得a2 b2 ，
6、即 ab ，当且仅当 a3， b 时等号成立，2ab92 32 ab 的最大值为 .故选 B9212定义 为 n 个正数 p1， p2， pn的“均倒数” ，若已知数列 an的np1 p2 pn前 n 项的“均倒数”为 ，又 bn ，则 等于( C )15n an5 1b1b2 1b2b3 1b10b11A B811 919C D1021 1123解析 由 得 Sn a1 a2 an5 n2，则 Sn1 5( n1) 2(n2)，na1 a2 an 15nan Sn Sn1 10 n5( n2)，当 n1 时， a15 也满足故 an10 n5， bn2 n1， ( )，所以原式 ( ) (1
7、 )1bnbn 1 1 2n 1 2n 1 12 12n 1 12n 1 121b1 1b11 12 121 .故选 C1021二、填空题(本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中横线上)13等比数列 an和等差数列 bn中， a5 b5,2a5 a2a80，则 b3 b7_4_解析 2 a5 a2a82 a5 a 0， an0， a52，25 b3 b72 b52 a5414如图，在 ABC 中， B45， D 是 BC 边上一点， AD5， AC7， DC3，则 AB的长为_ _562解析 在 ACD 中，cos ADC ，所以 ADC120，所以52 32
8、72253 125 ADB60.在 ABD 中，由正弦定理得 ，所以 AB ABsin60 ADsin45 56215(20182019 学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设 a0， b0，若 是 3a3与 3b的等比中项，则 的最小值为_4_1a 1b解析 是 3a与 3b的等比中项，333 a3b3 a b， a b1， ( )(a b)2 22 4，当且仅当 ，即 a b 时，等1a 1b 1a 1b ba ab baab ba ab 12号成立16某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度
9、v 行驶，单位 m/s)、平均车长 l(单位：m)的值有关，其公式为 F 76 000vv2 18v 20l(1)如果不限定车型， l6.05，则最大车流量为_1_900_辆/小时；(2)如果限定车型， l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_100_辆/小时解析 (1) l6.05，则 F ，由基本不等式 v 276 000vv2 18v 121 76 000v 18 121v 121v22 ，得 F 1 900(辆/小时)，故答案为 1 90012176 00022 18(2)l5， F ，由基本不等式 v 2 20，得 F76 000vv2 18v 100 76 000v 18 1
10、00v 100v 1002 000(辆/小时)，增加 2 0001 900100(辆/小时)，故答案为 10076 00020 18三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 10 分)和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第 1 项，第 4 项，第 25 项，求这三个数解析 由题意，设这三个数分别是 ， a， aq，且 q1，则 a aq114aq aq令这个等差数列的公差为 d，则 a (41) daq则 d (a )，13 aq又有 aq 24 aq 13 (a aq)6由得( q1)
11、( q7)0， q1， q7代入得 a14，则所求三数为 2,14,9818(本题满分 12 分)在 ABC 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c.已知 tan2( 4 A)(1)求 的值；sin2Asin2A cos2A(2)若 B ， a3，求 ABC 的面积 4解析 (1)由 tan( A)2，得 tanA ，所以 4 13 sin2Asin2A cos2 A 2sinAcosA2sinAcosA cos2 A 2tanA2tanA 1 25(2)由 tanA ， A(0，)可得，sin A ，cos A .由 a3， B 及正弦定13 1010 31010 4理知：
12、 b3 5又 sinCsin( A B)sin AcosBcos AsinB ，255所以 S ABC absinC 33 912 12 5 25519(本题满分 12 分)已知关于 x 的一元二次不等式 kx22 x6 k2，求 k 的值；(2)若不等式的解集是 R，求 k 的取值范围解析 (1)不等式的解集为 x|x2，3，2 是方程 kx22 x6 k0 的两根，且 k0Error! ， k 25(2)不等式的解集为 R，Error! ，即Error!， k 66即 k 的取值范围是(， )6620(本题满分 12 分)已知 an是等比数列， Sn是其前 n 项和， a1、 a7、 a4
13、成等差数列，求证：2 S3， S6， S12 S6成等比数列解析 设等比数列 an的公比为 q， a1， a7， a4成等差数列，2 a7 a1 a4，2 a1q6 a1 a1q3，72 q6 q310， q3 或 q3112当 q31，即 q1 时，2 S36 a1， S66 a1，S12 S612 a16 a16 a1， ，S62S3 S12 S6S62 S3， S6， S12 S6成等比数列当 q3 时， 12 S62S3 a1 1 q61 q 1 q2a1 1 q3 ，1 q32 14 1 1S12 S6S6 S12S6 a1 1 q121 q 1 qa1 1 q6 q6( q3)2
14、，142 S3， S6， S12 S6成等比数列，综上可知，2 S3， S6， S12 S6成等比数列21(本题满分 12 分)在 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.已知向量m(cos B,2cos2 1)， n( c， b2 a)，且 mn0C(1)求角 C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足 ，| | ， c2 ，求 ABC 的面积AD DB CD 7 3解析 (1) m(cos B，cos C)， n( c， b2 a)， mn0， ccosB( b2 a)cosC0，在 ABC 中，由正弦定理得sinCcosB(sin B2sin A)co
15、sC0，sin A2sin AcosC又sin A0，cos C ， C(0，)， C 12 3(2)由 ，知 ，所以 2 ，AD DB CD CA CB CD CD CA CB 两边平方得 4| |2 b2 a22 bacosCCD b2 a2 ba28.又 c2 a2 b22 abcosC， a2 b2 ab12.由得 ab8，所以 S ABC absinC2 12 322(本题满分 12 分)如图，为对某失事客轮 AB 进行有效援助，现分别在河岸 MN 选择两处 C， D 用强光柱进行辅助照明，其中 A， B， C， D 在同一平面内，现测得 CD 长为8100m， ADN105， BD
16、M30， ACN45， BCM60(1)求 BCD 的面积；(2)求船 AB 的长解析 (1)由题意知 BDM30， BCM60，得 CBD30， BCD120，所以 BC CD100(m)，所以 S BCD CBCDsin BCD 100100sin1202 500 (m2)12 12 3(2)由题意得 ADC75， ACD45， BDA45，在 ACD 中， ，即 ，CDsin CAD ADsin ACD 100sin60 ADsin45所以 AD (m)1003 6在 BCD 中，BD BC2 CD2 2BCCDcos BCD 100 (m)，1002 1002 2100100cos120 3在 ABD 中， AB AD2 BD2 2ADBDcos BDA (1003 6)2 1003 2 21003 61003cos45 (m)，即船长为 m1003 15 1003 159
