1、1山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（文）第卷（共60分）一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合 ，集合 中至少有 个元素，则（ ）2|1logAxNkA3A B C D16k68k8k2. 复数 的实部与虚部之差为（ ）34iA-1 B1 C D75753. 已知 ，则 （ ）cos2costan4A B C D4413134已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）1abbbA B C D2225. 若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为（ (,)P6
2、0xyMNN）A 230xyB 1C 30xyD 210xy6. 当输入 a的值为 16， b的值为 2时，执行如图所示的程序框图，则输出的 的结果是（ ）A 2B 3C 4D7. 已知函数 ln1fx，则 yfx的图象大致为（ ）A B2C D8如图，在棱长为 的正方体 中，a1ABC为 的中点， 为 上任意一点， 、 为P1ADQ1EF上两点，且 的长为定值，则下面四个值中不是EF定值的是（ ）A点 到平面 的距离B直线 与 平面 所成的角PC三棱锥 的体积D 的面积QEF9将函数 sin23fx的图象向右平移 2个单位长度得到 g图像，则下列判断错误的是（ ）A函数 在区间 ,12上单调
3、递增 B gx图像关于直线 712x对称C函数 x在区间 ,63上单调递减 D 图像关于点 ,03对称10. 设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，ABC ACabc，则 周长的取值范围为（ ）2A B0,0,C D32311. 设双曲线 2:10,xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1的直线分别交双曲线左右两支于点 M， N，连结 2F， N，若 20M， 2NF，则双曲线 C的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 612.已知函数 （ 为自然对数的底），若方程 有且仅有1()()xfeme()0fx两个不同的解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
4、0,+(0,2e)2e,第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 3已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值),(yxP02,1yx yxz范围是 14已知点 及抛物线 上一动点 则 的最小值是 )0,2(Q4),(yxP|Q15. 已知数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 481a，记数列 2na的前n项和为 T，则使不等式 12093nT成立的正整数 n的最大值为_16. 已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值为ABCD1BAC_ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）已知数列 满足
5、na2nSa*N（1）证明： 是等比数列；1na（2）求 13521.n*N18. （本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中 PABCD中， M是 PB的中点， 2AB， P，点 在底面 的射影 O恰是D的中点（1）证明：平面 平面 ；（2）求三棱锥 MDC的体积19（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记 x表示总收入，
6、 y表示应纳的税，试写出调整前后 y关于 x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：4先从收入在 30,5及 0,7的人群中按分层抽样抽取 7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？20.椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为 的直2:1(0)xyCab12,F1k线 与椭圆 相交于 两点.已知当 时， ，且 的面积l,MN24kM2F为 .2(1)求椭圆 的方程
7、；(2)当 时，求过点 且圆心在 轴上的圆的方程.1k,x21.已知函数 （ 为常数，且 ）23()lnfxaaR(1）当 时，求函数 的单调区间；a()f(2）若函数 在区间 上有唯一的极值点 ，求实数 和极值 的取值范围()f0,10xa0()fx.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOyx 1C的极坐标方程为 为曲线 上的动点，点 在射线 上，且4cos(0)M1CPOM满足 |2MP（）求点 的轨迹 的直角坐标方程；C（）设 与 轴交于
8、点 ，过点 且倾斜角为 的直线 与 相交于 两点，2xD56l1,AB求 的值|DAB23选修4-5：不等式选讲已知函数 13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a13xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围xfM1,32a5山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断数学试题（理）第卷（共60分）二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合 ，集合 中至少有 个元素，则（ ）2|1logAxNkA3A B C D16k68k8k【答案】B【解析】试题分析：由集合 中至少有 个元
9、素，则 ，解得 ，故选B. 32log4k16k2. 复数 的实部与虚部之差为（ ）634iA-1 B1 C D7575【答案】B3. 已知 ，则 （ ）cos2costan4A B C D441313【答案】C【解析】因为 ，所以 ，cos2cossin2costan26所以 ，故选C1tantan434已知 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）2bbabA B C D1 122【答案】D【解析】设 与 的夹角为 ， ， ，abab20aba， ，向量 在 方向上的投影为 ，2cos02cos2cos故选D6. 当输入 a的值为 16， b的值为 12时，执行如图所示的程序框图，则输
10、出的 a的结果是（ ）A 2B 3C 4D 6【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得 16a， 2b，满足条件 ab，满足条件 ， 4，满足条件 ，不满足条件 ， 8，7满足条件 ab，不满足条件 ab， 84，不满足条件 ，输出 的值为4故选C7. 已知函数 2ln1fx，则 yfx的图象大致为（ ）A BC D7【答案】A【解析】由于 1201lnl2f，排除B选项由于 2ef， 2e3f， eff，函数单调递减，排除C选项由于 1001，排除D选项故选A8如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 上a1BP1ADQ1AB任意一点， 、 为 上两点，且 的长为定值，则下面四个值中不
11、是定值的是EFCEF（ ）A点 到平面 的距离PQB直线 与 平面 所成的角EFC三棱锥 的体积D 的面积Q8.【答案】B【解析】8试题分析：将平面 延展到平面 如下图所示，由图可知， 到平面QEF1CDABP1CDAB的距离为定值.由于四边形 为矩形，故三角形 的面积为定值，进而三棱锥1QEF的体积为定值.故A ，C，D选项 为真命题，B为假命题.P9将函数 sin23fx的图象向右平移 2个单位长度得到 gx图像，则下列判断错误的是（ ）A函数 gx在区间 ,12上单调递增 B gx图像关于直线 712x对称C函数 在区间 ,63上单调递减 D 图像关于点 ,03对称9【答案】C【解析】由
12、题意，将函数 sin23fx的图象向右平移 2个单位长度，可得 2sin3gx，对于A中，由 1，则 23x，则函数 gx在区间 ,2上单调递增是正确的；对于B中，令 71，则 72sinsin113g，函数 gx图像关于直线 2x对称是正确的；对于C中， 63，则 03，则函数 gx在区间 ,上先减后增，不正确；9对于D中，令 3x，则 2sin03g， g图像关于点 ,0对称是正确的，故选C10. 设锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，AB ABCabc1，则 周长的取值范围为（ ）2ACA B0,0,3C D32【答案】C【解析】因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，即
13、ABC 02AB02C， ， ，所以 ，0202C643cos；又因为 ，A所以 ，又因为 ，所以 ；由 ，sin2icosC1c2cosainsbcBC即 ，所以 ，令2ii34sBb24obost，则 ，又因为函数 在 上单调递增，所以函数值域23( ,t24yt3( ,2为 ，故选：C ,11. 设双曲线 2:10,xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1的直线分别交双曲线左右两支于点 M， N，连结 2F， N，若 20M， 2NF，则双曲线 C的离心率为（ ）10A 2B 3C 5D 611【答案】B【解析】结合题意可知，设 2MFx，则 2Nx， 2Mx，则结合双曲线的性质可
14、得， 1a， 1FNa，代入，解得 2xa， 12， 2a， 1245F，对三角形 1FN运用余弦定理，得到2222cos45aacaa，解得 3ce故选B12.已知函数 （ 为自然对数的底），若方程 有且仅有1()()2xfeme()0fx两个不同的解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 0,+(0,2e)2e,， ，所以方程可以化为：()exf，即 ，记 ，02xxm1e()2xm()exg，设直 与 图像 相切时的切点为 ，则()e1)g ()yg(,)t切线方程为 ，过点 ，所以ettyxt(,0)或 （舍），所以切线的斜率为 ，由图像可以得e()2ttt122em第卷
15、（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知点 在不等式组 表示的平面区域上运动，则 的取值),(yxP02,1yx yxz11范围是 13【答案】 2,1试题分析：由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 平移直线过点 时， 有最小值为 ；平移直线 过点 时， 有0xy(0,)Az10xy(2,0)Bz最大值为 ，所以 的取值范围是 ，2yxz2,114已知点 及抛物线 上一动点 则 的最小值是 )0,(Q4x),(yxP|Q14【答案】215. 已知数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 481a，记数列 2na的前n项和为 nT，则使不
16、等式 12093nT成立的正整数 n的最大值为_15【答案】6【解析】数列 na为正项的递增等比数列， 1582a， 4158aa，即 1582，解得 158，则公比 3q， 1n，则 21211333nnnnT ， 20193nT，即 209n，得 09n，此时正整数 的最大值为 6故答案为616（理）. 已知在四面体 中， ，则该四面体的体积的最大值为ABCD1BAC_ ABCDO1216答案： 237解析：取 中点 ，连接 ，要使得四面体的体积最大，ABO,CD则必有平面 平面 ，设 ，Bt则 ，22,1tt则 ，31()3Vtttt则 ，令 ，得 ，当 时， 取得最大值 2()t0Vt
17、tV237三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(文)17（本小题满分12分）已知数列 满足 na2nSa*N（1）证明： 是等比数列；1na（2）求 13521.n*N【答案】（1）证明见解析；（2） 235n【解析】（1）由 得： ，1 分1Sa1因为 ，2nnn2n所以 ，3 分1a从而由 得 ，5分12nn12na所以 是以 为首项， 为公比的等比数列6分na（2）由（1）得 ，8分2n13所以 32113521nnaa124n12分2n（文科）18. （本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中 PABCD中， M是 PB的中点， 2A， P，点 P在底面 AB
18、CD的射影 O恰是 的中点（1）证明：平面 平面 ；（2）求三棱锥 M的体积【解析】（1）证明：依题意，得 PO平面 ABCD，又 AB平面 CD， 又 ， POA， 平面 又 平面 ，平面 B平面 （2） P平面 ACD， 为 的中点， PAD 为等腰三角形，又 AD， 2， 1PO， 2， BCS 点 M是 B的中点， M到平面 的距离等于点 到平面 C距离的一半，1122323PDCPCBDBCDVVS，即三棱锥 的体积为 119（12分）2019衡水金卷随着经济的发展，个人收入的提高自2018年10月1日14起，个人所得税起征点和税率的调整调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收
19、入额减除5000元后的余额为应纳税所得额依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记 x表示总收入， y表示应纳的税，试写出调整前后 y关于 x的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在 30,5及 0,7的人群中按分层抽样抽取 7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）见解
20、析；（2） 47；（3）见解析【解析】（1）调整前 y关于 x的表达式为 0, 35035.0,418xyx调整后 y关于 x的表达式为 0,5.03,5,80yxx，15（2）由频数分布表可知从 30,5及 0,7的人群中按分层抽样抽取 7人，其中 30,5中占3人，分别记为 A，B，C， 5,0中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB，AC，A 1，A 2，A 3，A 4，BC，B1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，C 3，C 4，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：A l，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2
21、，B 3，B 4，C 1，C 2，C 3，C 4，共12种，所求概率为 17P（3）由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为 503%201295元；按调整后起征点应纳个税为 7元，比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元，即个人的实际收入增加了220元，小李的实际收入增加了220元（文科）20.椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜2:1(0)xyCab12,F1率为 的直线 与椭圆 相交于 两点.已知当 时， ，且kl,MN4kM的面积为 .12MF2(1)求椭圆 的方程；(2)当 时，求过点 且圆心在 轴上的圆的方程.,x答案：(1)2184xy(
22、2)20()39解答：本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查了数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查。解答本题第一问首先要根据题设给的点 的特殊位置，建立关于 的等式，再通过解方程求出 ，从而得到所M,abc,abc求标准方程；解答本题第二问首先要根据三角形外接圆圆心的定义，计算出线段 的MN中垂线与 轴的交点坐标，从而确定圆心，然后再由圆心与点 的距离算得圆的半径x，最后得到圆的标准方程. 关键是如何得到圆心的坐标和半径的大小.16(1)由已知得：当 时， ，24k2211|,|4MFF此时 ， 122|,|F2分 所以 ， ， 22,42bcaa
23、b4分 所以椭圆 的方程为 . C2184xy5分 (2)当 时， ，1k:2lyx代入椭圆 的方程得： ，所以 ， ， C23801x3826分 所以 ，线段 的中点坐标 ， (0,2),)MNMN4(,)7分 线段 的中垂线方程为 ，令 ， 2()3yx203yx9分即圆心坐标为 ，所以半径 ， 2(,0)324()9r11分因此所求圆的方程为： . 240()9xy12分（文科）21.已知函数 （ 为常数，且 ）23()lnfaxaR(1）当 时，求函数 的单调区间；1a17(2）若函数 在区间 上有唯一的极值点 ，求实数 和极值 的取值范围()fx(0,1)0xa0()fx.答案：(1
24、) 函数 的递增区间是 ，递减区间是 ；()f(,)(1,)(2) 3,2解答：本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查。解答本题第一问首先要确定函数定义域并求导，然后根据导数的正负结合解不等式确定单调区间。解答本题第二问首先要根据 的分子构造二次函数()fx，借助二次函数图像结合条件确定实数 的范围，然后利用隐含条件消元，消掉()gx a，建立极值 与 的函数关系式，确定函数模型，然后根据新函数的单调性确定a0()fx范围. 本题第二问难点是有两个变量 ，需要根据隐含条件 合理消元.0,x0()g=(1) （ ， 1分211()2afx)当
25、时， a2()xxf 2分由 解得 ， 0,()xf1x3分 所以函数 的递增区间是 ，递减区间是 ； ()f(0,)(1,)5分 (2)记 ， ，函数 在区间 上有唯一极值点 ，2()1gxax()g()fx(0,)0x则函数 图像是开口向下的抛物线，且 ，即 ，() (1)121aa所以 的取值范围是 ， 7分 a(1,)，0()gx20x所以 ，20000 01331lnlnln22xfax189分 因为 在 上单调递增，且 时， ， ，0()fx(,1)0x)(xf 23)1(f所以 的取值范围是 . 0()f3,)212分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
26、题记分.22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOyx 1C的极坐标方程为 为曲线 上的动点，点 在射线 上，且4cos(0)M1CPOM满足 |2MP（）求点 的轨迹 的直角坐标方程；C（）设 与 轴交于点 ，过点 且倾斜角为 的直线 与 相交于 两点，2xD56l1,AB求 的值|DAB答案：（） ；5（） .解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点 的极坐标,PM的关系找到点 的极坐标方程，再化为直角坐标方
27、程；解答本题第二问首先要根据条件P确定直线 的参数方程，依据参数 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.l t（）设 的极坐标为 ， 的极坐标为 ，)0(,M)0(,1由题设知 所以 ， 1,4cosO2cos42分 即 的极坐标方程 ，所以 的直角坐标方程为 2Ccs5()2C5x5分（）交点 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数），)0,5(Dl35,12xty曲线 的直角坐标方程 ，1C)0(42xyx代入得： ， ， 32tt 7198分 设方程两根为 ，则 分别是 对应的参数，12,t12,t,AB所以 5|DBA10分23选修4-5：不等式选讲已知函数 13fxaR（1）当 时，解不等式 ；2a13xf（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围xfM1,32a【答案】（1） ；（2） |01x或 14,3【解析】（1）当 时，原不等式可化为 a23x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；3x120x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ；23x12当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 x32xx综上所述，当 时，不等式的解集为 5分a|0x或（2）不等式 可化为 ，13xfx313ax依题意不等式 在 恒成立，a,2所以 ，即 ，即 ，313xx11ax20所以 解得 ，13 2a43a故所求实数 的取值范围是 10分a1,2
