1、1考点规范练 12 函数与方程一、基础巩固1.(2018山东潍坊月考)若函数 f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2), 内,则与 f(0)符号(1,32)相同的是( )A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f(32)答案 C解析 本题实质考查二分法 .由题意知 f(x)的零点在 内,(1,32)可知 f(0)与 f(1)符号相同 .2.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的零点为( )2x-1,x 1,1+log2x,x1,A. ,0 B.-2,0 C. D.012 12答案 D解析 当 x1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x1时,由 f(x)
2、=1+log2x=0,解得 x= ,12又因为 x1,所以此时方程无解 .综上可知函数 f(x)的零点只有 0,故选 D.3.函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标所在的区间为 ( )1xA.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)答案 B解析 函数 y=ln(x+1)与 y= 的图象交点的横坐标,即为函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点 .1x 1x2f (x)在(0, + )上是图象连续的,且 f(1)=ln2-10,f (x)的零点所在区间为12(1,2).故选 B.4.若函数 f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a的取值范围是
3、( )2xA.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案 C解析 因为函数 f(x)=2x- -a在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,所2x 2x以 f(1)f(2)0,f 0,(1+33,+ ) (1- 33) (1+ 33) 函数 f(x)的零点个数为 1,故选 B.8.已知 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x(0, + )时, f(x)=2 016x+log2 016x,则函数 f(x)的零点个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 作出函数 y=2016x和 y=-log2016x的图象如图所示
4、,可知函数 f(x)=2016x+log2016x在 x(0, + )内存在一个零点 .f (x)是定义在 R上的奇函数,f (x)在 x( - ,0)内只有一个零点 .又 f(0)=0, 函数 f(x)的零点个数是 3,故选 C.9.已知偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且当 x0,1时, f(x)=x,则关于 x的方程 f(x)= 在区(110)x间0,4上解的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.44答案 D解析 由 f(x-1)=f(x+1),可知函数 f(x)的周期 T=2.x 0,1时, f(x)=x,又 f(x)是偶函数,f (x)的图象与 y= 的图象如图所示
5、 .(110)x由图象可知 f(x)= 在区间0,4上解的个数是 4.(110)x故选 D.10.函数 f(x)=cos 在0,的零点个数为 . (3x+6)答案 3解析 令 f(x)=cos =0,得 3x+ +k, kZ,(3x+6) 6=2x= ,kZ .则在0,的零点有 .故有 3个 .9+k3=(3k+1)9 9,49,7911.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m有 3个零点,则实数 m的取值范围是 .log2(x+1),x0,-x2-2x,x 0,答案 (0,1)解析 因为函数 g(x)=f(x)-m有 3个零点,所以 f(x)-m=0有 3个根,所以 y=f(x
6、)的图象与直线 y=m有 3个交点 .画出函数 y=f(x)的图象,由抛物线顶点为( -1,1),可知实数 m的取值范围是(0,1) .12.已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x- -1的零点分别为 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3的大小关系x是 . 答案 x10在 xR 上恒成立,故函数 f(x)在 R上单调递增 .而 f(0)=e0+0-2=-10,所以函数 f(x)的零点 a(0,1);由题意,知 g(x)= +10在 x(0, + )内恒成立,故函数 g(x)在(0, + )内单调递增 .1x又 g(1)=ln1+1-2=-10,所以函数 g(x)的
7、零点 b(1,2) .综上,可得 01,2x,x 1, 7答案 8解析 f (x+1)=-f(x),f (x+2)=f(x).又 x -1,1时, f(x)=x2,f (x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数 g(x)的图象,可见 y=f(x)(-5 x5)与 y=2x(x1)有 5个交点, y=f(x)(-5 x5)与 y=log3(x-1)(x1)的图象有 3个交点,故共有 8个交点 .三、高考预测17.已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a= ( )A.- B. C. D.112 13 12答案 C解析 f (x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f (2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f (2-x)=f(x),即直线 x=1为 f(x)图象的对称轴 .f (x)有唯一零点, f (x)的零点只能为 1,即 f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a= .128
