1、1考点规范练 22 三角恒等变换一、基础巩固1. =( )2sin47- 3sin17cos17A.- B.-1 C. D.13 3答案 D解析 原式 =2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin30=1.故选 D.2.已知 2sin 2= 1+cos 2 ,则 tan 2= ( )A. B.- C. 或 0 D.- 或 043 43 43 43答案 C解析 因为 2sin2= 1+cos2 ,所以 2sin2= 2cos2.所以 2cos (2sin- cos )=0,解得 cos= 0或 tan= .12若 cos= 0,
2、则 =k + ,kZ,2 = 2k +, kZ,2所以 tan2= 0.若 tan= ,则 tan2= .12 2tan1-tan2 =43综上所述,故选 C.3.已知函数 f(x)=3sin x cos x+ cos2x ( 0)的最小正周期为 ,将函数 f(x)的图象向左平32移 ( 0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为 x= ,则 的值不可能为( )82A. B. C. D.524 1324 1724 2324答案 B解析 f (x)=3sinx cosx+ cos2x3= sin2x+32 31+cos2x2= sin ,3 (2x +6)+ 32 ,即 = 2,f (x)= s
3、in .22 =2 3 (4x+6)+ 32平移后的函数为 g(x)= sin3 4(x+ )+6+ 32= sin .3 (4x+4 +6)+ 32由题意,得 4 +4+ =k + ,kZ,8 6 2解得 = ,kZ,故选 B.k4-244.已知 f(x)=sin2x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为( )A.,0, B.2, -4,34C., D.2,-8,38 -4,4答案 C解析 由 f(x)=sin2x+sinxcosx= sin2x1-cos2x2 +12=12+ 22(22sin2x- 22cos2x)= sin ,12+ 22 (2x-4)
4、则 T= = .22又 2k - 2 x- 2 k + (kZ),2 4 23k - x k + (kZ)为函数的单调递增区间 .8 38故选 C.5.已知 5sin 2= 6cos , ,则 tan =( )(0,2) 2A.- B. C. D.23 13 35 23答案 B解析 由题意,知 10sin cos= 6cos ,又 ,(0,2) sin= ,cos= ,35 45 tan2=sin2cos2= 2sin222sin2cos2= .1-cossin =1-4535 =136.已知 tan =- ,且 0,00),则 A= ,b= . 答案 12解析 因为 2cos2x+sin2x
5、=1+cos2x+sin2x=sin +1,所以 A= ,b=1.2 (2x+4) 29.(2018江苏,16)已知 , 均为锐角,且 tan = ,cos(+ )=- .43 55(1)求 cos 2 的值;(2)求 tan(- )的值 .解 (1)因为 tan= ,tan= ,43 sincos所以 sin= cos. 因为 sin2+ cos2= 1,43所以 cos2= ,因此 cos2= 2cos2- 1=- .925 725(2)因为 , 为锐角,所以 + (0,) .5又因为 cos =- ,( + )55所以 sin(+ )= ,1-cos2( + )=255因此 tan(+
6、)=-2.因为 tan= ,43所以 tan2= =- .2tan1-tan2 247因此,tan( - )=tan2- (+ )= =- .tan2 -tan( + )1+tan2 tan( + ) 21110.已知函数 f(x)=sin +cos -2sin2 ( 0)的周期为 .(x -6) (x -3) x2(1)求 的值;(2)若 x ,求 f(x)的最大值与最小值 .0,2解 (1) 函数 f(x)=sin +cos -2sin2 =sinx cos -(x -6) (x -3) x2 6cosx sin +cosx cos +sinx sin -2 sinx+ cosx- 1=2
7、sin -6 3 3 1-cosx2 = 3 (x +6)1( 0),f (x)的周期为 =, = 2.2(2)x , 2x+ .0,2 6 6,76 sin .(2x+6) -12,1f (x)的最大值为 1,最小值为 -2.11.已知点 在函数 f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上 .(4,1)(1)求 a的值和 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在(0,)内的单调递减区间 .解 (1)函数 f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.6f (x)的图象过点 ,(4,1)即 1=asin +cos ,可得 a=1.2 2f (x)=s
8、in2x+cos2x= sin .2 (2x+4) 函数 f(x)的最小正周期 T= = .22(2)由 2k + 2 x+ +2k, kZ,2 4 32可得 k + x +k, kZ .8 58函数 f(x)的单调递减区间为 ,kZ .k +8,58+k x (0,), 当 k=0时,可得单调递减区间为 .8,58二、能力提升12.已知 m= ,若 sin2(+ )=3sin 2 ,则 m=( )tan( + + )tan( - + )A.-1 B. C. D.234 32答案 D解析 sin2(+ )=3sin2 , sin(+ )-(- )=3sin(+ )-(+- ), sin(+ )
9、cos(- )-cos(+ )sin(- )=3sin(+ )cos(+- )-3cos(+ )sin(+- ),即 -2sin(+ )cos(+- )=-4cos(+ )sin(+- ), tan(+ )=2tan(+- ),故 m= =2,故选 D.tan( + + )tan( - + )13.已知 cos = ,cos(+ )=- ,且 , ,则 cos(- )的值等于( )13 13 (0,2)A.- B. C.- D.12 12 13 23277答案 D解析 , 2 (0,) .(0,2) cos= , cos2= 2cos2- 1=- ,13 79 sin2= ,1-cos22 =
10、429又 , ,+ (0,),(0,2) sin(+ )= ,1-cos2( + )=223 cos(- )=cos2- (+ )=cos2 cos(+ )+sin2 sin(+ )= .(-79)(-13)+429 223 =232714.已知函数 f(x)=2sin cos -2cos2 +1,则 f(x)的最小正周期为 ;函(x+524) (x+524) (x+524)数 f(x)的单调递增区间为 . 答案 (kZ)k -3,k +6解析 f(x)=2sin cos -2cos2 +1(x+524) (x+524) (x+524)=sin -cos(2x+512) (2x+512)= 2
11、sin(2x+512)cos4-cos(2x+512)sin4= sin sin .2 (2x+512)-4= 2 (2x+6)f (x)的最小正周期 T= = .22因此 f(x)= sin .2 (2x+6)当 2k - 2 x+ 2 k + (kZ),2 6 2即 k - x k + (kZ)时,3 68 函数 f(x)的单调递增区间是 (kZ) .k -3,k +615.已知函数 f(x)=2 sin cos x (00,(0,2)所以 sinA= ,所以 A= .32 3(2)因为 A+B+C=,所以 sinB=sin -(A+C)=sin(A+C),所以 sinB+sinC=sin +sinC(3+C)= cosC+ sinC= sin .32 32 3 (C+6)因为在锐角三角形 ABC中, A= ,3所以 B+C= ,B= -C,23 23所以 C ,023-C2,0C2, 故6 2由正弦函数的单调性可知,sin B+sinC的取值范围为 .(32, 310
