1、1考点规范练 24 平面向量的概念及线性运算一、基础巩固1.设 a,b都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( )a|a|= b|b|A.a=-b B.abC.a=2b D.ab,且 |a|=|b|答案 C解析 由 表示与 a同向的单位向量, 表示与 b同向的单位向量,故只要 a与 b同向即可,观察可知a|a| b|b|C满足题意 .2.设 E,F分别是正方形 ABCD的边 AB,BC上的点,且 AE= AB,BF= BC.如果 =m +n (m,n为实数),12 23 EFABAC那么 m+n的值为( )A.- B.0 C. D.112 12答案 C解析 如图, =- =- )=
2、- .EF=EA+AC+CF12AB+AC-13BC12AB+AC-13(BA+AC 16AB+23AC =m +n ,EFABACm=- ,n= ,m+n= .故选 C.16 23 123.设向量 a,b不共线, =2a+pb, =a+b, =a-2b.若 A,B,D三点共线,则实数 p的值是( )AB BC CDA.-2 B.-1 C.1 D.2答案 B2解析 =a+b, =a-2b, =2a-b.BC CD BD=BC+CD又 A,B,D三点共线, 共线 .AB,BD = ,即 2a+pb= (2a-b).AB BD 2=2 ,p=-.= 1,p=-1.4.如图,已知 AB是圆 O的直径
3、,点 C,D是半圆弧的两个三等分点, =a, =b,则 =( )AB AC ADA.a- b B. a-b12 12C.a+ b D. a+b12 12答案 D解析 连接 CD(图略),由点 C,D是半圆弧的三等分点,得 CD AB,且 a,所以CD=12AB=12=b+ a.AD=AC+CD125.已知点 O,A,B不在同一条直线上,点 P为该平面上一点,且 2 =2 ,则( )OPOA+BAA.点 P在线段 AB上B.点 P在线段 AB的反向延长线上C.点 P在线段 AB的延长线上D.点 P不在直线 AB上答案 B解析 因为 2 =2 ,所以 2 .OPOA+BA AP=BA所以点 P在线
4、段 AB的反向延长线上,故选 B.36.(2018陕西咸阳月考)在四边形 ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,则四边形 ABCD的形状是( )AB BC CDA.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对答案 C解析 =-8a-2b=2(-4a-b)=2 ,AD=AB+BC+CD BC .AD BC又 不平行, 四边形 ABCD是梯形 .AB与 CD7.若点 M是 ABC所在平面内的一点,且满足 5 +3 ,则 ABM与 ABC的面积比为( )AM=ABACA. B. C. D.15 25 35 45答案 C解析 设 AB的中点为 D.由 5 +3 ,AM=ABAC
5、得 3 -3 =2 -2 ,AMACADAM即 3 =2 .CMMD如图,故 C,M,D三点共线,且 ,也就是 ABM与 ABC对于边 AB上的两高之比为 3 5,MD=35CD则 ABM与 ABC的面积比为 ,选 C.358.(2018河南洛阳月考)已知 A,B,C是平面上不共线的三点, O是 ABC的重心,动点 P满足,则点 P一定为 ABC的( )OP=13(12OA+12OB+2OC)A.边 AB中线的中点B.边 AB中线的三等分点(非重心)C.重心4D.边 AB的中点答案 B解析 设 AB的中点为 M,则 ,所以 +2 ),即 3 +2 =2 -2 ,即12OA+12OB=OM OP
6、=13(OMOC OP=OMOC,OP-OMOCOP=2 .MPPC又 有公共点 P,所以 P,M,C三点共线,且 P是 CM上靠近点 C的一个三等分点 .MP与 PC9.已知 A,B,C为圆 O上的三点,若 ),则 的夹角为 . AO=12(AB+AC AB与 AC答案 90解析 由 )可得 O为 BC的中点,则 BC为圆 O的直径,即 BAC=90,故 的夹角为AO=12(AB+AC AB与 AC90.10.已知 D为 ABC的边 BC的中点,点 P满足 =0, = ,则实数 的值为 .PA+BP+CP AP PD答案 -2解析 如图,由 = ,且 =0,得 P为以 AB,AC为邻边的平行
7、四边形的顶点,AP PD PA+BP+CP因此 =-2 ,则 =- 2.AP PD11.如图,在 ABC中,已知 BAC= ,AB=2,AC=4,点 D为边 BC上一点,满足 +2 =3 ,点 E是 AD上一点,满3 ACABAD足 =2 ,则 BE= . AEED5答案2219解析 如图,延长 AB到 F,使 AF=2AB,连接 CF,则 AC=AF.取 CF的中点 O,连接 AO,则 +2 =2 =3 ,ACABAOADA ,D,O三点共线, BAC= ,3 CAO= ,且 AO CF,AC=4,6AO= 2 .AD= .3433又 =2 ,AE= 2ED= AD= .AEED23 839
8、又 AB=2, BAE= ,6 在 ABE中,由余弦定理,得 BE2=4+ -22 .BE= .6427 839 32=2827 221912.在任意四边形 ABCD中, E,F分别是 AD,BC的中点,若 = + ,则 += . EF AB DC答案 1解析 如图,因为 E,F分别是 AD与 BC的中点,所以 =0, =0.EA+ED BF+CF又因为 =0,AB+BF+FE+EA所以 . EF=AB+BF+EA6同理 . EF=ED+DC+CF由 + 得,2 +( )+( )= ,所以 ),EF=AB+DCEA+ED BF+CFAB+DC EF=12(AB+DC所以 = ,= .所以 +=
9、 1.12 12二、能力提升13.已知在 ABC中, D是 AB边上的一点, = ,| |=2,| |=1.若 =b, =a,则用 a,bCD (CA|CA|+ CB|CB|) CA CB CA CB表示 为( )CDA. a+ b B. a+ b23 13 13 23C. a+ b D. a+ b13 13 23 23答案 A解析 由题意知, CD是 ACB的平分线,故 )CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA= a+ b,故选 A.23CB+13CA=23 1314.在 ABC中,点 O在线段 BC的延长线上,且与点 C不重合 .若 =x +(1-x) ,则实数 x的取值
10、范AOAB AC围是( )A.(- ,0) B.(0,+ ) C.(-1,0) D.(0,1)答案 A解析 设 = ( 1),BO BC则 + =(1- ) + .AO=AB+BO=AB BC AB AC又 =x +(1-x) ,AOAB AC所以 x +(1-x) =(1- ) + .AB AC AB AC所以 = 1-x1,得 x0,n0,则 m+2n的最小值是 . BDDC,AEAB,AFAC答案 3解析 )AD=AB+BD=AB+23(AC-AB= .13AB+23AC=13mAE+23nAFD ,E,F三点共线, =1.13m+23nm 0,n0,m+ 2n=(m+2n)(13m+23n)=13+43+2n3m+2m3n +2 +2 =3,53 2n3m2m3n=53 23当且仅当 m=n时,等号成立 .故 m+2n的最小值为 3.三、高考预测18.已知 e1,e2为平面内两个不共线向量, =2e1-3e2, = e1+6e2.若 M,N,P三点共线,则 = .MN NP答案 -4解析 因为 M,N,P三点共线,所以存在实数 k使得 =k ,所以 2e1-3e2=k( e1+6e2).MNNP9又 e1,e2为平面内两个不共线的向量,所以 解得 =- 4.2=k ,-3=6k,
