1、1考点规范练 26 平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( )A.|ab|a|b| B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案 B解析 A项,设向量 a与 b的夹角为 ,则 ab=|a|b|cos |a|b|,所以不等式恒成立;B项,当 a与 b同向时, |a-b|=|a|-|b|;当 a与 b非零且反向时, |a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b) 2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a 2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式
2、恒成立 .综上,选 B.2.已知 a,b为单位向量,其夹角为 60,则(2a -b)b=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 B解析 由已知得 |a|=|b|=1,a与 b的夹角 = 60,则(2a -b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-| b|2=211cos60-12=0,故选 B.3.已知向量 a=(1,2),b=(m,-4),若 |a|b|+ab=0,则实数 m等于( )A.-4 B.4 C.-2 D.2答案 C解析 设 a,b的夹角为 ,2| a|b|+ab=0,| a|b|+|a|b|cos= 0, cos=- 1,即 a,b的方向相反 .又向量 a=(1,2),b=(
3、m,-4), b=-2a,m=- 2.4.若向量 =(1,2), =(4,5),且 ( )=0,则实数 的值为( )BA CA CB BA+CAA.3 B.- C.-3 D.-92 53答案 C解析 =(1,2), =(4,5),BA CA =(3,3),CB=CA+AB=CA-BA =(+ 4,2+ 5).BA+CA又 ( )=0,CB BA+CA 3(+ 4)+3(2+ 5)=0,解得 =- 3.5.在四边形 ABCD中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( )AC BDA. B.2 C.5 D.105 5答案 C解析 依题意得, =1(-4)+22=0, .ACBD A
4、C BD 四边形 ABCD的面积为 | |= =5.12|ACBD12 5 206.在 ABC中,边 AB上的高为 CD,若 =a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则 =( )CB CA ADA. a- b B. a- b13 13 23 23C. a- b D. a- b35 35 45 45答案 D3解析 ab=0, .CA CB| a|=1,|b|=2,AB= .5又 CD AB, 由射影定理,得 AC2=ADAB.AD= . .45=455 ADAB=4555=45 )= (a-b),故选 D.AD=45AB=45(CB-CA457.已知向量 a=(m,2),b=(2,-1)
5、,且 ab,则 等于( )|2a-b|a(a+b)A.- B.1 C.2 D.53 54答案 B解析 a=(m,2),b=(2,-1),且 ab, ab=2m-2=0,解得 m=1, a=(1,2),2a-b=(0,5),|2a-b|=5.又 a+b=(3,1),a(a+b)=13+21=5, =1.|2a-b|a(a+b)=558.设 m,n为非零向量,则“存在负数 ,使得 m= n”是“mn 0),因为 n( tm+n),所以 n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+| n|2=t3k4k +(4k)132=4tk2+16k2=0.所以 t=-4,故选 B.13.在矩形 ABCD
6、中, AB=1,AD= ,P为矩形内一点,且 AP= .若 = + ( , R),则332 AP AB AD+ 的最大值为( )3A. B. C. D.32 62 3+ 34 6+324答案 B解析 因为 = + ,AP AB AD所以 | |2=| + |2.AP AB AD所以 = 2| |2+ 2| |2+2 .(32)2 AB AD ABAD因为 AB=1,AD= ,AB AD,所以 = 2+3 2.334又 = 2+3 22 ,34 3所以( + )2= +2 .334 3 34+34=32所以 + 的最大值为 ,当且仅当 = ,= 时等号成立 .362 64 2414.已知 ,|
7、|= ,| |=t.若点 P是 ABC所在平面内的一点,且 ,则AB ACAB1t AC AP= AB|AB|+4AC|AC|的最大值等于( )PBPC6A.13 B.15 C.19 D.21答案 A解析 以点 A为原点, 所在直线分别为 x轴、 y轴建立平面直角坐标系,如图,则 A(0,0),AB,ACB ,C(0,t),(1t,0) =(1,0), =(0,1),AB|AB| AC|AC| =(1,0)+4(0,1)=(1,4),AP= AB|AB|+4AC|AC| 点 P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),PB=(1t-1,-4),PC =1- -4t+16PBPC1t=- +17
8、-4+17=13.(1t+4t)当且仅当 =4t,即 t= 时等号成立,1t 12 的最大值为 13.PBPC15.如图,在平面四边形 ABCD中, AB BC,AD CD, BAD=120,AB=AD=1.若点 E为边 CD上的动点,则的最小值为 ( )AEBE7A. B.2116 32C. D.32516答案 A解析 如图,取 AB的中点 F,连接 EF.AEBE=(AE+BE)2-(AE-BE)24= =| |2- .(2FE)2-AB24 FE 14当 EF CD时, | |最小,即 取最小值 .EF AEBE过点 A作 AH EF于点 H,由 AD CD,EF CD,可得 EH=AD
9、=1, DAH=90.因为 DAB=120,所以 HAF=30.在 Rt AFH中,易知 AF= ,HF= ,12 14所以 EF=EH+HF=1+ .14=54所以( )min= .AEBE (54)2-14=211616.如图,在 ABCD中,已知 AB=8,AD=5, =3 =2,则 的值是 . CPPD,APBP ABAD答案 22解析 =3 , .CPPD AP=AD+14AB,BP=AD-34AB8又 AB=8,AD=5, APBP=(AD+14AB)(AD-34AB)=| |2- |2AD12ABAD-316|AB=25- -12=2.12ABAD =22.ABAD三、高考预测17.已知两个平面向量 a,b满足 |a|=1,|a-2b|= ,且 a与 b的夹角为 120,则 |b|= . 21答案 2解析 向量 a,b满足 |a|=1,|a-2b|= ,且 a与 b的夹角为 120,21 (a-2b)2=a2-4ab+4b2=1-41|b|cos120+4|b|2=21,化简得 2|b|2+|b|-10=0,解得 |b|=2(负值舍去) .
