1、1考点规范练 3 命题及其关系、充要条件一、基础巩固1.已知 a,b,cR,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c23”的否命题是( )A.若 a+b+c3,则 a2+b2+c21,则 x21”,则命题 p以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 命题 p:“若 x1,则 x21”是真命题,则其逆否命题为真命题;其逆命题:“若 x21,则 x1”是假命题,则其否命题也是假命题 .综上可得,四个命题中真命题的个数为 2.24.已知直线 a,b分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”
2、的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a,b相交,设交点为 P,则 P a,P b.又因为 a ,b ,所以 P ,P . 故 , 相交 .反之,若 , 相交,设交线为 l,当 a,b都与直线 l不相交时,有 a b.显然 a,b可能相交,也可能异面、平行 .综上,“直线 a和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件 .5.下列命题中为真命题的是( )A.命题“若 xy,则 x|y|”的逆命题B.命题“若 x1,则 x21”的否命题C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题D.命题“若 x20,则 x1
3、”的逆否命题答案 A解析 对于 A,逆命题是:若 x|y|,则 xy.因为 x|y| y,必有 xy,所以逆命题是真命题;对于 B,否命题是:若 x1,则 x21 .因为 x=-5,有 x2=251,所以否命题是假命题;对于 C,否命题是:若 x1,则 x2+x-20 .因为 x=-2,有 x2+x-2=0,所以否命题是假命题;对于 D,若 x20,则 x0,不一定有 x1,因此逆否命题是假命题 .6.若 xR,则“1 0在 R上恒成立”的一个必要不充分条件是 ( )A.m B.00 D.m114答案 C解析 不等式 x2-x+m0在 R上恒成立,则 = 1-4m .14所以“不等式 x2-x
4、+m0在 R上恒成立”的一个必要不充分条件是 m0.8.下列结论错误的是( )A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x4,则 x2-3x-40”B.“x=4”是“ x2-3x-4=0”的充分不必要条件C.命题“若 m0,则关于 x的方程 x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0,且 n=0”的否命题是“若 m2+n20,则 m0 或 n0”答案 C解析 若关于 x的方程 x2+x-m=0有实根,则 = 1+4m0,即 m - ,不能推出 m0.所以“若 m0,则方14程 x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选 C.9.
5、若 a,b都是不等于 1的正数,则“3 a3b3”是“log a33b3,ab 1. log3alog3b0. ,即 loga33b3”是“log a31时,满足 loga33b3,得 ab1, 由 loga33b3, “3a3b3”不是“log a33b3”是“log a30,b0,则“ ab”是“ a+ln ab+ln b”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 设 f(x)=x+lnx,显然 f(x)在区间(0, + )内单调递增, ab ,f (a)f(b),即 a+lnab+lnb,故充分性成立,a+ lnab+lnb,f
6、(a)f(b),ab ,故必要性成立,故“ ab”是“ a+lnab+lnb”的充要条件,故选 C.11.(2018江西抚州七校联考)A,B,C 三名学生参加了一次考试,A,B 的得分均为 70分,C 的得分为 65分 .已知命题 p:若及格分低于 70分,则 A,B,C都没有及格 .在下列四个命题中, p的逆否命题是( )A.若及格分不低于 70分,则 A,B,C都及格B.若 A,B,C都及格,则及格分不低于 70分C.若 A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于 70分D.若 A,B,C至少有一人及格,则及格分高于 70分答案 C解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知, p的逆否命题是
7、:若 A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于 70分 .故选 C.12.有下列几个命题: “若 ab,则 a2b2”的否命题; “若 x+y=0,则 x,y互为相反数”的逆命题;5 “若 x21”,是真命题B.逆命题是“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内不是增函数”,是真命题答案 D解析 由 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内是增函数,可知 f(x)=ex-m0 在区间
8、(0, + )内恒成立,故m1 .因此命题“若函数 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内是增函数,则 m1”是真命题,所以其逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx在区间(0, + )内不是增函数”是真命题 .14.已知条件 p:k= ;条件 q:直线 y=kx+2与圆 x2+y2=1相切,则 p是 q的( )3A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 直线 y=kx+2与圆 x2+y2=1相切,可得 d= =1,解得 k= ,所以 p是 q的充分不必要条件,2k2+1 3则 p是 q的必要不充分条件 .15.设 xR,则“2 -x
9、0”是“ |x-1|1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B6解析 x=- 3满足 2-x0,但不满足 |x-1|1, “2-x0”不是“ |x-1|1”的充分条件 .若 |x-1|1,则 -1 x-11,即 0 x2,可得 2-x0,即“2 -x0”是“ |x-1|1”的必要条件 .故“2 -x0”是“ |x-1|1”的必要不充分条件 .故选 B.16.已知 p:实数 x满足 x2-4ax+3a20,不充分条件,则实数 a的取值范围是 . 答案 (1,2解析 p 是 q的必要不充分条件,q p,且 p q.设 A=x|p(x),B=x|
10、q(x),则 BA.又 B=x|20时, A=x|a0时,有 解得 10,若 p是 q的充分不必要条件,则实数 a的取值范围是 .12答案 a|0 a12解析 q:(x-a)(x-a-1)0,解得 a x a+1.由 p是 q的充分不必要条件,知 a,a+1,12,1则 且等号不能同时成立,解得 0 a .a 12,a+1 1, 12三、高考预测718.若 a,bR,则“ ab”是“ a(ea+e-a)b(eb+e-b)”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案 C解析 设 f(x)=ex+e-x,则 f(x)=ex-e-x= .e2x-1ex当 x0时,e x1, (ex)2-10.f (x)0, 当 x0时, f(x)是增函数;ab 0,f (a)f(b). ea+e-aeb+e-b.a (ea+e-a)b(eb+e-b).当 xb(eb+e-b).当 a0b时, a(ea+e-a)b(eb+e-b)显然成立,综上所述,当 ab时, a(ea+e-a)b(eb+e-b)恒成立,故充分性成立;反之也成立,故必要性成立;故“ ab”是“ a(ea+e-a)b(eb+e-b)”的充要条件,故选 C.8
