1、1考点规范练 40 直线、平面垂直的判定与性质一、基础巩固1.若平面 平面 ,平面 平面 = 直线 l,则( )A.垂直于平面 的平面一定平行于平面 B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C.垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD.垂直于直线 l 的平面一定与平面 , 都垂直答案 D解析 对于 A,垂直于平面 的平面与平面 平行或相交,故 A 错;对于 B,垂直于直线 l 的直线与平面 垂直、斜交、平行或在平面 内,故 B 错;对于 C,垂直于平面 的平面与直线 l 平行或相交,故C 错;易知 D 正确 .2.设 为平面, a,b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( )A.若 a ,b
2、 ,则 a b B.若 a ,a b,则 b C.若 a ,a b,则 b D.若 a ,a b,则 b 答案 B解析 如图(1) ,知 A 错;如图(2)知 C 错;如图(3), a a,a ,b a,知 D 错;由线面垂直的性质定理知 B 正确 .3.如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列结论正确的是( )2A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE,且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC,且平面 ADC平面 BDE答案 C解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE
3、 AC.同理有 DE AC,于是 AC平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC平面 BDE.又因为 AC平面 ACD,所以平面 ACD平面 BDE,故选 C.4.已知 l,m,n 是三条不同的直线, , 是不同的平面,则 的一个充分条件是( )A.l ,m ,且 l mB.l ,m ,n ,且 l m,l nC.m ,n ,m n,且 l mD.l ,l m,且 m 答案 D解析 对于 A,l ,m ,且 l m,如图(1), , 不垂直;对于 B,l ,m ,n ,且 l m,l n,如图(2), , 不垂直;图(1)图(2)3对于 C,m ,n ,m n,且 l m,
4、直线 l 没有确定,则 , 的关系也不能确定;对于 D,l ,l m,且 m ,则必有 l ,根据面面垂直的判定定理知, .5.在空间四边形 ABCD 中, AD BC,AD BD,且 BCD 是锐角三角形,则必有( )A.平面 ABD平面 ADC B.平面 ABD平面 ABCC.平面 ADC平面 BDC D.平面 ABC平面 BDC答案 C解析 AD BC,AD BD,BC BD=B,AD 平面 BDC.又 AD平面 ADC, 平面 ADC平面 BDC.故选 C.6.如图,已知 ABC 为直角三角形,其中 ACB=90,M 为 AB 的中点, PM 垂直于 ABC 所在的平面,则( )A.P
5、A=PBPCB.PA=PBPCC.PA=PB=PCD.PA PB PC答案 C解析 M 为 AB 的中点, ACB 为直角三角形,BM=AM=CM.又 PM平面 ABC, Rt PMBRt PMARt PMC,故 PA=PB=PC.47.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD,且底面各边都相等, M 是 PC 上的一个动点,当点 M 满足 时,平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案 DM PC(或 BM PC)解析 PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC,且 AC BD,BD PC. 当 DM PC(或 BM PC)时,即有 PC平面 MBD,而
6、 PC平面 PCD, 平面 MBD平面 PCD.8.在四面体 ABCD 中, DA平面 ABC,AB AC,AB=4,AC=3,AD=1,E 为棱 BC 上一点,且平面 ADE平面BCD,则 DE= . 答案135解析 过 A 作 AH DE, 平面 ADE平面 BCD,且平面 ADE平面 BCD=DE,AH 平面 BCD,AH BC.又 DA平面 ABC,BC平面 ABC,AD BC,BC 平面 ADE,BC AE.AE= ,AD=1,DE= .345 1359.设 , 是空间两个不同的平面, m,n 是平面 及 外的两条不同直线 .从“m n; ;n ;m ”中选取三个作为条件,余下一个作
7、为结论,写出你认为正确的一个命题: .(用序号表示) 答案 (或 )解析 逐一判断 .若 成立,则 m 与 的位置关系不确定,故 错误;同理 也错误; 与 均正确 .10.5如图,已知 PA矩形 ABCD 所在平面, M,N 分别是 AB,PC 的中点 .(1)求证: MN CD;(2)若 PDA=45,求证: MN平面 PCD.证明 (1)连接 AC,AN,BN,PA 平面 ABCD,AC平面 ABCD,PA AC.在 Rt PAC 中, N 为 PC 的中点,AN= PC.12PA 平面 ABCD,BC平面 ABCD,PA BC.又 BC AB,PA AB=A,BC 平面 PAB.PB 平
8、面 PAB,BC PB.在 Rt PBC 中, BN 为斜边 PC 上的中线,BN= PC.AN=BN.12 ABN 为等腰三角形 .又 M 为 AB 的中点, MN AB.AB CD,MN CD.(2)连接 PM,MC, PDA=45,PA AD,AP=AD.6 四边形 ABCD 为矩形, AD=BC ,AP=BC.又 M 为 AB 的中点, AM=BM. PAM= CBM=90, PAM CBM.PM=CM.又 N 为 PC 的中点, MN PC.由(1)知, MN CD,又 PC CD=C,MN 平面 PCD.11.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,BC=2AC=4,D,E 分
9、别是边 AB,BC 的中点,沿 DE 将 BDE 折起至FDE,且 CEF=60.(1)求四棱锥 F-ADEC 的体积;(2)求证:平面 ADF平面 ACF.(1)解 D ,E 分别是边 AB,BC 的中点,DE AC,DE BC,DE=1.12依题意, DE EF,BE=EF=2,EF EC=E,DE 平面 CEF,DE 平面 ACED, 平面 ACED平面 CEF.作 FM EC 于 M,则 FM平面 ACED, CEF=60,FM= ,3梯形 ACED 的面积 S= (AC+ED)EC= (1+2)2=3.12 12四棱锥 F-ADEC 的体积 V= Sh= 3 .13 13 3= 3(
10、2)证法一 如图,取线段 AF,CF 的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC,127NQ DE,四边形 DEQN 是平行四边形, DN EQ.EC=EF , CEF=60, CEF 是等边三角形, EQ FC,又 DE平面 CEF,DE EQ,AC EQ,FC AC=C,EQ 平面 ACF,DN 平面 ACF,又 DN平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.证法二 连接 BF,EC=EF , CEF=60, CEF 是边长为 2 的等边三角形 .BE=EF , EBF= CEF=30,12 BFC=90,BF FC.DE 平面 BCF,DE AC,AC 平面 BCF.BF 平
11、面 BCF,AC BF,又 FC AC=C,BF 平面 ACF,又 BF平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.12.如图 ,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交 2 12点 .将 ABE 沿 BE 折起到图 中 A1BE 的位置,得到四棱锥 A1-BCDE.图 8图 (1)证明: CD平面 A1OC;(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时,四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 ,求 a 的值 .2(1)证明 在题图 中,因为 AD BC,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点, BAD=
12、 ,所以 BE AC,四边形 BCDE12 2为平行四边形 .所以在题图 中, BE A1O,BE OC,BE CD,从而 BE平面 A1OC,又 CD BE,所以 CD平面 A1OC.(2)解 由已知,平面 A1BE平面 BCDE,且平面 A1BE平面 BCDE=BE,又由(1)知, A1O BE,所以 A1O平面 BCDE,即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高 .由题图 知, A1O= AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BCAB=a2.22 22从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V= SA1O= a2 a= a3,由 a3=36 ,得 a=6.13 13 22 26
13、26 2二、能力提升13.已知两条不重合的直线 m,n 和两个不重合的平面 , ,有下列命题: 若 m n,m ,则 n ; 若 m ,n ,m n,则 ; 若 m,n 是两条异面直线, m ,n ,m ,n ,则 ; 若 , =m ,n ,n m,则 n .其中正确命题的个数是( )9A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 若 m n,m ,则 n 可能在平面 内,故 错误;m ,m n,n .又 n , ,故 正确; 过直线 m 作平面 交平面 于直线 c,m ,n 是两条异面直线, 设 n c=O.m ,m , =c ,m c.m ,c ,c .n ,c ,n c=O,c ,n ,
14、. 故 正确; , =m ,n ,n m,n . 故 正确 .故正确命题有 3 个,故选 C.14.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中, BAC=90,BC1 AC,则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( )A.直线 AB 上B.直线 BC 上C.直线 AC 上D. ABC 内部答案 A解析 由 BC1 AC,又 BA AC,则 AC平面 ABC1,因此平面 ABC平面 ABC1,因此 C1在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上 .15.10如图,在四边形 ABCD 中, AD BC,AD=AB, BCD=45, BAD=90,将 ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD平
15、面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列结论正确的是( )A.平面 ABD平面 ABC B.平面 ADC平面 BDCC.平面 ABC平面 BDC D.平面 ADC平面 ABC答案 D解析 由题意知,在四边形 ABCD 中, CD BD.在三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD平面 BCD,两平面的交线为BD,所以 CD平面 ABD,因此有 AB CD.又因为 AB AD,且 CD AD=D,所以 AB平面 ADC,于是得到平面 ADC平面 ABC,故选 D.16.如图,直线 PA 垂直于 O 所在的平面, ABC 内接于 O,且 AB 为 O 的直径,点 M 为线段
16、PB 的中点 .下列结论: BC PC;OM 平面 APC; 点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 .其中正确的是( )A. B.C. D.答案 B解析 对于 ,PA 平面 ABC,BC平面 ABC,PA BC.AB 为 O 的直径, BC AC.BC 平面 PAC.又 PC平面 PAC,BC PC;对于 , 点 M 为线段 PB 的中点, AB 为 O 的直径,11OM PA.PA 平面 PAC,OM平面 PAC,OM 平面 PAC;对于 ,由 知 BC平面 PAC, 线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离 .故 都正确 .17.(2018 北京六区一模)如图 ,在
17、 ABC 中, D,E 分别为 AB,AC 的中点, O 为 DE 的中点,AB=AC=2 ,BC=4.将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置,使得平面 A1DE平面 BCED,F 为 A1C 的中点,5如图 .图 图 (1)求证: EF平面 A1BD;(2)求证:平面 A1OB平面 A1OC;(3)在线段 OC 上是否存在点 G,使得 OC平面 EFG?说明理由 .(1)证明 取线段 A1B 的中点 H,连接 HD,HF.因为在 ABC 中, D,E 分别为 AB,AC 的中点,12所以 DE BC,DE= BC.12因为 H,F 分别为 A1B,A1C 的中点,所以 HF BC,H
18、F= BC,12所以 HF DE,HF=DE,所以四边形 DEFH 为平行四边形,所以 EF HD.因为 EF平面 A1BD,HD平面 A1BD,所以 EF平面 A1BD.(2)证明 在 ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点, AB=AC,所以 AD=AE.所以 A1D=A1E.又 O 为 DE 的中点,所以 A1O DE.因为平面 A1DE平面 BCED,且 A1O平面 A1DE,平面 A1DE平面 BCED=DE,所以 A1O平面 BCED.因为 CO平面 BCED,所以 CO A1O.在 OBC 中, BC=4,易知 OB=OC=2 ,2所以 CO BO.因为 A1O B
19、O=O,所以 CO平面 A1OB.因为 CO平面 A1OC,所以平面 A1OB平面 A1OC.(3)解 在线段 OC 上不存在点 G,使得 OC平面 EFG.假设在线段 OC 上存在点 G,使得 OC平面 EFG.连接 GE,GF,则必有 OC GF,且 OC GE.在 Rt A1OC 中,由 F 为 A1C 的中点, OC GF,得 G 为 OC 的中点 .在 EOC 中,因为 OC GE,所以 EO=EC,这显然与 EO=1,EC= 矛盾 .5所以在线段 OC 上不存在点 G,使得 OC平面 EFG.三、高考预测1318.在四棱锥 P-ABCD 中, AB CD,AB= DC=1,BP=B
20、C= ,PC=2,AB平面 PBC,F 为 PC 的中点 .12 2(1)求证: BF平面 PAD;(2)求证:平面 ADP平面 PDC;(3)求四棱锥 P-ABCD 的体积 .(1)证明 取 PD 的中点 E,连接 EF,AE.因为 F 为 PC 的中点,所以 EF 为 PDC 的中位线,即 EF DC 且 EF= DC.12又 AB CD,AB= CD,12所以 AB EF 且 AB=EF.所以四边形 ABFE 为平行四边形,所以 BF AE.又 AE平面 PAD,BF平面 PAD,所以 BF平面 PAD.(2)证明 因为 BP=BC,F 为 PC 的中点,所以 BF PC.又 AB平面 PBC,AB CD,所以 CD平面 PBC.又 BF平面 PBC,所以 DC BF.14又 DC PC=C,所以 BF平面 PDC.由(1)知, AE BF,所以 AE平面 PDC.又 AE平面 ADP,所以平面 ADP平面 PDC.(3)解 因为 AB平面 PBC,AB平面 ABCD,所以平面 ABCD平面 PBC 且交线为 BC.又 BP=BC= ,PC=2,所以 PB BC.2所以 PB平面 ABCD,即 PB 是四棱锥的高 .所以 VP-ABCD= SABCDPB13= (1+2) =1.13 212 2
