1、1考点规范练 41 直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、基础巩固1.经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y= ( )34A.-1 B.-3 C.0 D.2答案 B解析 tan =y+2,34=2y+1-(-3)4-2 =2y+42因此 y+2=-1,y=-3.2.已知直线 l:ax+y-2+a=0在 x轴和 y轴上的截距相等,则 a的值是( )A.1 B.-1 C.2或 1 D.-2或 1答案 C解析 当 a=0时,直线方程为 y=2,显然不符合题意,当 a0 时,令 y=0,得到直线在 x轴上的截距是 ,2-aa令 x=0时,得到直线在 y轴上的截距为 2-a,
2、根据题意得 =2-a,解得 a=2或 a=1,故选 C.2-aa3.已知直线 l的斜率为 k(k0),它在 x轴、 y轴上的截距分别为 k和 2k,则直线 l的方程为( )A.2x-y-4=0 B.2x-y+4=0C.2x+y-4=0 D.2x+y+4=0答案 D解析 依题意得直线 l过点( k,0)和(0,2 k),所以其斜率 k= =-2,由点斜式得直线 l的方程为 y=-2k-00-k2(x+2),化为一般式是 2x+y+4=0.4.直线 l经过点 A(1,2),在 x轴上的截距的取值范围是( -3,3),则其斜率的取值范围是( )A. B. (1, + )(-1,15) (- ,12)
3、2C.(- ,1) D.(- ,-1)(15,+ ) (12,+ )答案 D解析 设直线的斜率为 k,如图,过定点 A的直线经过点 B时,直线 l在 x轴上的截距为 3,此时 k=-1;过定点 A的直线经过点 C时,直线 l在 x轴上的截距为 -3,此时 k= ,满足条件的直线 l的斜率范围12是( - ,-1) .(12,+ )5.一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、第二、第四象限的必要不充分条件是( )mn 1nA.m1,且 n1 B.mn0C.m0,且 n0,且 n0答案 B解析 因为 y=- x+ 经过第一、二、四象限,所以 - 0,即 m0,n0,但此为充要条件,因此,其必要
4、mn 1n mn 1n不充分条件为 mn0,故选 B.6.设 A,B是 x轴上的两点,点 P的横坐标为 2,且 |PA|=|PB|,若直线 PA的方程为 x-y+1=0,则直线 PB的方程是( )A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0答案 A解析 易知 A(-1,0).|PA|=|PB| ,P 在 AB的中垂线即 x=2上 .B (5,0).PA ,PB关于直线 x=2对称, k PB=-1.l PB:y-0=-(x-5),即 x+y-5=0.7.若 ab0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab的最小值为 . 3答案 1
5、6解析 根据 A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为 =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 =1,所以 -xa+yb -2a + -2b2(a+b)=ab.又 ab0,故 a0,b0)过点(1,1),则该直线在 x轴、 y轴上的截距之和的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 C解析 直线 ax+by=ab(a0,b0)过点(1,1),5a+b=ab ,即 =1,1a+1b 直线在 x轴、 y轴上的截距之和a+b=(a+b) =2+(1a+1b) ba+ab2 +2 =4,baab当且仅当 a=b=2时等号成立 . 该直线在 x轴、 y轴上的截距之和的最小值为 4.12.已知
6、直线 l过点 P(3,2),且与 x轴的正半轴、 y轴的正半轴分别交于 A,B两点,当 AOB的面积取最小值时,直线 l的方程为 . 答案 2x+3y-12=0解析 方法 1:易知直线 l的斜率 k存在且 k0,b0),将点 P(3,2)代入得 =12 ,即 ab24,当xa+yb 3a+2b 6ab且仅当 ,即 a=6,b=4时等号成立,又 S AOB= ab,3a=2b 12所以当 a=6,b=4时, AOB的面积最小,此时直线 l的方程为 =1,x6+y4即 2x+3y-12=0.13.已知直线 l过点 M(1,1),且与 x轴、 y轴的正半轴分别相交于 A,B两点, O为坐标原点 .当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线 l的方程 .6解 设直线 l的斜率为 k,则 k0,b0).xa+yb由于 l经过点 A(1,4),故 =1,1a+4b则 a+b=(a+b) =5+ 9,(1a+4b) 4ab+ba当且仅当 ,即 b=2a时等号成立,4ab=ba此时 a=3,b=6.故所求直线 l的方程为 =1,x3+y6即 y=-2x+6.7
