1、1考点规范练 42 两条直线的位置关系一、基础巩固1.已知直线 mx+4y-2=0与 2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1, p),则 m-n+p为( )A.24 B.20 C.0 D.-4答案 B解析 两直线互相垂直, k 1k2=-1,- =-1,m= 10.m425又 垂足为(1, p), 代入直线 10x+4y-2=0得 p=-2,将(1, -2)代入直线 2x-5y+n=0得 n=-12,m-n+p= 20.2.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称,则直线 l2恒过定点( )A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)答案 B解析 直
2、线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2) .因为直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2关于点(2,1)对称,所以直线 l2恒过定点(0,2) .3.若动点 A,B分别在直线 l1:x+y-7=0和 l2:x+y-5=0上移动,则 AB的中点 M到原点的距离的最小值为( )A.3 B.2 C.3 D.42 2 3 2答案 A解析 依题意知, AB的中点 M的集合为与直线 l1:x+y-7=0和 l2:x+y-5=0距离相等的直线,则 M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离 .设点 M所在直线的方程为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得
3、|m+7|=|m+5|m=-6,即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点 M到|m+7|2 =|m+5|2原点的距离的最小值为 =3 .|-6|2 224.已知平行四边形 ABCD的一条对角线固定在 A(3,-1),C(2,-3)两点, D点在直线 3x-y+1=0上移动,则 B点的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0答案 A解析 设 AC的中点为 O,则 O .(52,-2)设 B(x,y)关于点 O的对称点为( x0,y0),即 D(x0,y0),则 x0=5-x,y0= -4-y,由 3x0-y0+1=0
4、得 3x-y-20=0.5.如图所示,已知两点 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB反射后再射到直线 OB上,最后经直线 OB反射后又回到 P点,则光线所经过的路程是 ( )A.2 B.610C.3 D.23 5答案 A解析 易得 AB所在的直线方程为 x+y=4,由于点 P关于直线 AB对称的点为 A1(4,2),点 P关于 y轴对称的点为 A2(-2,0),则光线所经过的路程即 A1(4,2)与 A2(-2,0)两点间的距离 .于是 |A1A2|=2 .(4+2)2+(2-0)2 106.若直线 l经过直线 y=2x+1和 y=3x-1的交点,且平行于直线
5、2x+y-3=0,则直线 l的方程为 .答案 2x+y-9=0解析 直线 y=2x+1与 y=3x-1的交点为(2,5) .3设直线 l方程为 2x+y+m=0,将(2,5)代入得 m=-9.故 l方程为 2x+y-9=0.7.已知点 A(1,3)关于直线 y=kx+b对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b在 x轴上的截距是 .答案56解析 由题意得线段 AB的中点 在直线 y=kx+b上,故 解得(-12,2) 3-11+2k= -1,2=k(-12)+b, k= -32,b=54, 所以直线方程为 y=- x+ .32 54令 y=0,即 - x+ =0,解得 x= ,故直线 y
6、=kx+b在 x轴上的截距为 .32 54 56 568.已知两直线 a1x+b1y+1=0和 a2x+b2y+1=0的交点为 P(2,3),求过两点 Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程 .解 方法一: P (2,3)是已知两条直线的交点, 2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.由题意可知, a1 a2, =- .b1-b2a1-a2 23故所求直线方程为 y-b1=- (x-a1),23即 2x+3y-(2a1+3b1)=0, 2x+3y+1=0. 过 Q1,Q2两点的直线方程为 2x+3y+1=0.方法二: 点 P是已知两条直
7、线的交点, 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可见 Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程 2x+3y+1=0. 过 Q1,Q2两点的直线方程为 2x+3y+1=0.9.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m分别为何值时, l1与 l2:4(1)相交? (2)平行? (3)垂直?解 (1)当 m=-5时,显然 l1与 l2相交但不垂直;当 m -5时,两条直线 l1和 l2的斜率分别为 k1=- ,k2=- ,它们在 y轴上的截距分别为3+m4 25+mb1= ,b2= .5-3m4 85+m由 k1 k2,得 - - ,
8、3+m4 25+m即 m -7,且 m -1.则当 m -7,且 m -1时, l1与 l2相交 .(2)由 解得 m=-7.k1=k2,b1 b2,得 -3+m4 = - 25+m,5-3m4 85+m, 则当 m=-7时, l1与 l2平行 .(3)由 k1k2=-1,得 =-1,(-3+m4)(- 25+m)解得 m=- .133则当 m=- 时, l1与 l2垂直 .13310.已知光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x上的 B点后被直线 y=x反射到 y轴上的 C点,又被 y轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC所在的直线方程 .解 作出草图如图所示 .设 A
9、关于直线 y=x的对称点为 A,D关于 y轴的对称点为 D,则易得 A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B与点 C.故 BC所在的直线方程为 ,y-6-4-6= x-1-2-15即 10x-3y+8=0.二、能力提升11.三条直线 l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则 k的取值范围是( )A.kR B.kR,且 k 1,k0C.kR,且 k 5,k -10 D.kR,且 k 5,k1答案 C解析 若有两条直线平行,或三条直线交于同一点,则不能构成三角形 .由 l1 l3,得 k=5;由 l2 l3,得 k=
10、-5;由 x-y=0与 x+y-2=0,得 x=1,y=1,若(1,1)在 l3上,则 k=-10.若 l1,l2,l3能构成一个三角形,则 k 5,且 k -10,故选 C.12.点 P到点 A(1,0)和到直线 x=-1的距离相等,且 P到直线 y=x的距离等于 ,这样的点 P共有( )22A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 C解析 设 P(x,y),由题意知 =|x+1|且 ,(x-1)2+y222=|x-y|2所以 或 y2=4x,|x-y|=1,即 y2=4x,x-y=1 y2=4x,x-y= -1,解得 有两根, 有一根 .13.已知 M= ,N=(x,y)|ax+2y+a
11、=0,且 M N=,则 a=( )(x,y)|y-3x-2=3A.-6或 -2 B.-6 C.2或 -6 D.-2答案 A解析 集合 M表示去掉一点 A(2,3)的直线 3x-y-3=0,集合 N表示恒过定点 B(-1,0)的直线 ax+2y+a=0,因为 M N=,所以两直线要么平行,要么直线 ax+2y+a=0与直线 3x-y-3=0相交于点 A(2,3).因此 =3或 2a+6+a=0,即 a=-6或 a=-2.-a2614.已知点 A(3,1),在直线 y=x和 y=0上各找一点 M和 N,使 AMN的周长最短,则最短周长为 .答案 2 5解析 由点 A(3,1)及直线 y=x,可求得
12、点 A关于 y=x的对称点为点 B(1,3),同理可求得点 A关于 y=0的对称点为点 C(3,-1),如图所示 .则 |AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN| |BC|,当且仅当 B,M,N,C四点共线时, AMN的周长最短,为 |BC|=2 .515.点 P(2,1)到直线 l:mx-y-3=0(mR)的最大距离是 . 答案 2 5解析 直线 l经过定点 Q(0,-3),如图所示 .由图知,当 PQ l时,点 P(2,1)到直线 l的距离取得最大值, |PQ|= =2 ,所(2-0)2+(1+3)2 5以点 P(2,1)到直线 l的最大距离为 2 .516.已知入射光线经
13、过点 M(-3,4),被直线 l:x-y+3=0反射,反射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 . 答案 6x-y-6=0解析 设点 M(-3,4)关于直线 l:x-y+3=0的对称点为 M(a,b),则反射光线所在直线过点 M,所以 解得(b-4a-(-3)1= -1,-3+a2 -b+42 +3=0, a=1,b=0.又反射光线经过点 N(2,6),7所以所求直线的方程为 ,即 6x-y-6=0.y-06-0=x-12-117.已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且 l1与 l2之间的距离是 .7510(1)求 a
14、的值;(2)能否找到一点 P,使 P同时满足下列三个条件: 点 P在第一象限; 点 P到 l1的距离是点 P到 l2的距离的 ;12 点 P到 l1的距离与点 P到 l3的距离之比是 .2 5若能,求点 P的坐标;若不能,说明理由 .解 (1)因为直线 l2:2x-y- =0,所以两条平行线 l1与 l2间的距离为 d= ,所以12 |a-(-12)|22+(-1)2=7510,即 ,又 a0,解得 a=3.|a+12|5 =7510 |a+12|=72(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0).若点 P满足条件 ,则点 P在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0上,且 ,即 c=
15、或 c= ,所以 2x0-y0+ =0或 2 x0-y0+ =0;|c-3|5 =12|c+12|5 132 116 132 116若点 P满足条件 ,由点到直线的距离公式,有 ,|2x0-y0+3|5 = 25|x0+y0-1|2即 |2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0或 3x0+2=0;因为点 P在第一象限,所以 3x0+2=0不可能 .联立 解得 (舍去);2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0, x0= -3,y0=12 联立 解得2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0, x0=19,y0=3718.所以存在点 P 同时满足三个条件 .(19,3718)三、高考预测818.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b是方程 x2+x+c=0的两个实根,且 0 c ,18则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A. B.24,14 2,22C. D.2,12 22,12答案 D解析 依题意得 |a-b|= ,(a+b)2-4ab= 1-4c当 0 c 时, |a-b|= 1 .因为两条直线间的距离等于 ,所以两条直线间的18 22 1-4c |a-b|2距离的最大值与最小值分别是 .22,2212=12
