1、1考点规范练 45 椭圆一、基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为( -5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为( )A. =1 B. =1x2169+ y2144 x2144+ y2169C. =1 D. =1x2169+y225 x2144+y225答案 A解析 由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆方程为 =1.x2169+ y21442.已知椭圆 =1 的离心率为 ,则 k 的值为( )x29+ y24+k 45A.- B.21 C.- 或 21 D. 或 211925 1925 1925答案 C解析 若 a
2、2=9,b2=4+k,则 c= ,5-k由 ,即 ,得 k=- ;ca=45 5-k3 =45 1925若 a2=4+k,b2=9,则 c= ,k-5由 ,即 ,解得 k=21.ca=45 k-54+k=453.若曲线 ax2+by2=1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足 ( )A.a2b2 B. C.00,所以 01b24.(2018 河南中原名校质量考评)已知点 P(x1,y1)是椭圆 =1 上的一点, F1,F2是焦点,若 F1PF2x225+y216取最大值时,则 PF1F2的面积是( )A. B.12 C.16(2+ ) D.16(2- )1633 3 3答案 B解析
3、椭圆方程为 =1,x225+y216a= 5,b=4,c= =3,25-16因此椭圆的焦点坐标为 F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的性质可知,当点 P 与短轴端点重合时, F1PF2取最大值,则此时 PF1F2的面积 S=234=12,故选 B.125.已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-x2a2+y2b2ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.63 33 23 13答案 A解析 以线段 A1A2为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线 bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a
4、2相切,所以圆心到该直线的距离 d= =a,2abb2+a2整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2),所以 ,从而 e= .故选 A.c2a2=23 ca= 636.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心14率为( )A. B. C. D.13 12 23 34答案 B3解析 设椭圆的一个顶点坐标为(0, b),一个焦点坐标为( c,0),则直线 l 的方程为 =1,即 bx+cy-bc=0,xc+yb短轴长为 2b,由题意得 2b,与 b2+c2=a2联立得 a=2c,故 e= .bcb2+c2=14 127.如图,在平面直角
5、坐标系 xOy 中, F 是椭圆 =1(ab0)的右焦点,直线 y= 与椭圆交于 B,C 两点,x2a2+y2b2 b2且 BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 答案63解析 由题意得 B ,C ,F(c,0),(-32a,b2) (32a,b2)所以 .BF=(c+32a,-b2),CF=(c- 32a,-b2)因为 BFC=90,所以 =0.BFCF所以 c2- =0.(32a)2+(b2)2又 a2-b2=c2,所以 3c2=2a2,即 ,所以 e= .c2a2=23 638.已知 F1,F2分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过 F1的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,连接 A
6、F2x22和 BF2.(1)求 ABF2的周长;(2)若 AF2 BF2,求 ABF2的面积 .解 (1)F 1,F2分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过 F1的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,连接 AF2x22和 BF2. ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 .24(2)设直线 l 的方程为 x=my-1,由 得( m2+2)y2-2my-1=0.x=my-1,x2+2y2-2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=- .2mm2+2 1m2+2AF 2 BF2, =0,F2AF2B =(x1-1)(x2-
7、1)+y1y2F2AF2B=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4= -2m +4= =0.-(m2+1)m2+2 2mm2+2 -m2+7m2+2m 2=7. ABF2的面积 S= |F1F2| .12 (y1+y2)2-4y1y2=899.(2018 北京,文 20)已知椭圆 M: =1(ab0)的离心率为 ,焦距为 2 ,斜率为 k 的直线 l 与x2a2+y2b2 63 2椭圆 M 有两个不同的交点 A,B.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若 k=1,求 |AB|的最大值;(3)设 P(-2,0),直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C
8、,直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D,若 C,D 和点 Q 共线,求 k.(-74,14)解 (1)由题意得 解得 a= ,b=1.a2=b2+c2,ca= 63,2c=2 2, 3所以椭圆 M 的方程为 +y2=1.x23(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).5由 得 4x2+6mx+3m2-3=0,y=x+m,x23+y2=1,所以 x1+x2=- ,x1x2= .3m2 3m2-34所以 |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2= 2(x2-x1)2= 2(x1+x2)2-4x1x2= .12-3m22当 m=0,即直线 l 过原点时,
9、 |AB|最大,最大值为 .6(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得 +3 =3, +3 =3.x21 y21 x22 y22直线 PA 的方程为 y= (x+2).y1x1+2由 y= y1x1+2(x+2),x2+3y2=3, 得( x1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0.y21 y21 y21设 C(xC,yC),所以 xC+x1= .-12y21(x1+2)2+3y21=4x21-124x1+7所以 xC= -x1= .4x21-124x1+7 -12-7x14x1+7所以 yC= (xC+2)= .y1x1+2 y14x1+7设 D(xD,yD
10、),同理得 xD= ,yD= .-12-7x24x2+7 y24x2+7记直线 CQ,DQ 的斜率分别为 kCQ,kDQ,则 kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为 C,D,Q 三点共线,所以 kCQ-kDQ=0.6故 y1-y2=x1-x2.所以直线 l 的斜率 k= =1.y1-y2x1-x2二、能力提升10.已知 F1,F2是椭圆 =1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点 P 使得 PF1 PF2,则该椭x2a2+y2b2圆的离心率的取值范围是( )A. B. C.
11、D.55,1) 22,1) (0,55 (0,22答案 B解析 F 1,F2是椭圆 =1(ab0)的左、右两个焦点,x2a2+y2b2 离心率 0b0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),若 c 是 a,mx2a2+y2b2 x2m2-y2n2的等比中项, n2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.32 22 12 14答案 C解析 因为椭圆 =1(ab0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),所以x2a2+y2b2 x2m2-y2n2c2=a2-b2=m2+n2.因为 c 是 a,m 的等比
12、中项, n2是 2m2与 c2的等差中项,所以 c2=am,2n2=2m2+c2,所以m2= ,n2= ,所以 =c2,化为 ,所以 e= .c4a2 c4a2+c22 2c4a2+c22 c2a2=14 ca=12712.已知椭圆 =1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y= x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率x2a2+y2b2 bc是 . 答案22解析 设 Q(x0,y0),则y0x0-c= -cb,bc(x0+c2)=y02,解得x0=c(c2-b2)a2 ,y0=2bc2a2. 因为点 Q 在椭圆上,所以 =1,c2(c2-b2)2a4a2 +4b2c4a4b2化简得 a
13、4c2+4c6-a6=0,即 4e6+e2-1=0.即 4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2 e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以 e= .2213.已知椭圆 C: =1 过 A(2,0),B(0,1)两点 .x2a2+y2b2(1)求椭圆 C 的方程及离心率;(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:四边形 ABNM 的面积为定值 .(1)解 由题意,得 a=2,b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.x24又 c= ,所以离心率 e= .a2-b2= 3ca= 32(2)证明 设 P(x0,y0
14、)(x0b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2作垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 E 在第x2a2+y2b2一象限交于点 P,若 |PF1|=5,且 3a=b2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)A,B 是椭圆 C 上位于直线 l 两侧的两点 .若直线 AB 过点(1, -1),且 APF2= BPF2,求直线 AB 的方程 .解 (1)由题意可得 |PF2|= =3,b2a因为 |PF1|=5,由椭圆的定义得 a=4,所以 b2=12,故椭圆 E 方程为 =1.x216+y212(2)易知点 P 的坐标为(2,3) .因为 APF2= BPF2,所以直线 PA,PB 的斜率之和为 0.
15、设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为 -k,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 PA 的方程为 y-3=k(x-2),由 y-3=k(x-2),x216+y212=1 可得(3 +4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以 x1+2= ,8k(2k-3)3+4k2同理直线 PB 的方程为 y-3=-k(x-2),可得 x2+2= ,-8k(-2k-3)3+4k2 =8k(2k+3)3+4k2所以 x1+x2= ,x1-x2= ,16k2-123+4k2 -48k3+4k210kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2= ,k(x1+x2)-4kx1-x2 =12所以满足条件的直线 AB 的方程为 y+1= (x-1),即为 x-2y-3=0.12
