1、1考点规范练 7 函数的奇偶性与周期性一、基础巩固1.函数 f(x)= -x 的图象关于( )1xA.y 轴对称 B.直线 y=-x 对称C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称答案 C解析 f (-x)=- +x=- =-f(x),且定义域为( - ,0)(0, + ),1x (1x-x)f (x)为奇函数 .f (x)的图象关于坐标原点对称 .2.下列函数中,既是偶函数,又在区间( - ,0)内单调递增的是( )A.y=x2 B.y=2|x|C.y=log2 D.y=sin x1|x|答案 C解析 函数 y=x2在区间( - ,0)内是减函数;函数 y=2|x|在区间( - ,0)内是减函
2、数;函数 y=log2 =-1|x|log2|x|是偶函数,且在区间( - ,0)内是增函数;函数 y=sinx 不是偶函数 .故选 C.3.已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( )x4+1,x0,cos2x,x 0,A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为 -1,+ )答案 D解析 因为 y=x4+1(x0)的值域为(1, + ),且 y=cos2x(x0)的值域为 -1,1,所以 f(x)的值域为(1,+ ) -1,1=-1,+ ).故选 D.4.已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2)= ( )A.1 B.
3、5 C.-1 D.-5答案 B2解析 令 g(x)=f(x)+x,由题意可得 g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又 g(-2)=f(-2)-2,故 f(-2)=g(-2)+2=5.5.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)为偶函数,且 f(1)=2,则 f(4)+f(5)的值为( )A.2 B.1 C.-1 D.-2答案 A解析 f (x+1)为偶函数, f(x)是奇函数,f (-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f (x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),f (x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
4、则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f (4)+f(5)=0+2=2,故选 A.6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x).若当 x0,1)时, f(x)=2x- ,则2f(lo )的值为( )g124 2A.0 B.1 C. D.-2 2答案 A解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(lo )=f(-log2 )=f =-f .g124 2 52 (-52) (52)又 f(x+2)=f(x),所以 f =f =0.(52) (12)=212- 2所以 f(lo )=0.g124 27.已知定义域为 R 的函数 f(x)
5、在区间(8, + )内为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)f(7) B.f(6)f(9)C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)答案 D3解析 由 y=f(x+8)为偶函数,知函数 f(x)的图象关于直线 x=8 对称 .又 f(x)在区间(8, + )内为减函数,故 f(x)在区间( - ,8)内为增函数 .可画出 f(x)的草图(图略),知 f(7)f(10).8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, f(x)=x2+2x.若 f(2-a2)f(a),则实数 a 的取值范围是( )A.(- ,-1)(2, + ) B.(-1,2)C.(-2
6、,1) D.(- ,-2)(1, + )答案 C解析 因为 f(x)是奇函数,所以当 xf(a),得 2-a2a,即 -20 的解集为 .(12)答案 x|-1212解析 由奇函数 y=f(x)在区间(0, + )内单调递增,且 f =0,可知函数 y=f(x)在区间( - ,0)内单调(12)递增,且 f =0.由 f(x)0,可得 x 或 - m2-1,解得 -20)在区间 -8,8上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= .答案 -87解析 f (x)为奇函数且 f(x-4)=-f(x),f (x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(x)=f(4-x)
7、且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,且是周期为 8 的周期函数 .f (x)在0,2上是增函数, f (x)在 -2,2上是增函数,在2,6上是减函数 .据此可画出 y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线 x=-6 对称,x 1+x2=-12,x3+x4=4,x 1+x2+x3+x4=-8.三、高考预测18.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则( )A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)f(11)答案 D解析 f (x)满足 f(x-4)=-f(x),f (x)=f(x+8). 函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数 .f (-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在区间0,2上是增函数, f (x)在区间 -2,2上是增函数 .f (-1)f(0)f(1),即 f(-25)f(80)f(11).8
