1、1高考大题专项练三 高考中的数列1.(2018 全国 ,文 17)等比数列 an中, a1=1,a5=4a3.(1)求 an的通项公式;(2)记 Sn为 an的前 n 项和,若 Sm=63,求 m.解 (1)设 an的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去), q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .1-(-2)n3由 Sm=63 得( -2)m=-188,此方程没有正整数解 .若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上, m=6.2
2、.设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求数列 an的通项公式;(2)若 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.nan+1-an解 (1)(方法一) S n+1=3Sn+3,S n+1+ =3 .32 (Sn+32)S n+ 3n-1= 3n-1= .32=(S1+32) 92 3n+12 当 n2 时, an=Sn-Sn-1= =3n,a1也适合 .3n+12 -3n2a n=3n.(方法二)由 Sn+1=3Sn+3(nN *),可知当 n2 时, Sn=3Sn-1+3,两式相减,得 an+1=3an(n2) .又 a1=3,代入 Sn+1=3
3、Sn+3,得 a2=9,故 an=3n.2(2)b n= ,nan+1-an= n3n+1-3n=12n3nT n= , 12(13+232+333+n3n) Tn= , 13 12(132+233+334+n-13n + n3n+1)由 - ,得 Tn= ,23 12(13+132+133+134+13n- n3n+1)解得 Tn= .38-2n+383n3.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1;数列 bn满足 bn-1-bn=bnbn-1(n2, nN *),b1=1.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)求数列 的前 n 项和 Tn.anbn解 (1)由 Sn=
4、2an-1,得 S1=a1=2a1-1,故 a1=1.又 Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n2),两式相减,得 Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-2an-1.故 an=2an-1,n2 .所以数列 an是首项为 1,公比为 2 的等比数列 .故 an=12n-1=2n-1.由 bn-1-bn=bnbn-1(n2, nN *),得 =1.1bn- 1bn-1又 b1=1, 数列 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 .1bn =1+(n-1)1=n.b n= .1bn 1n(2)由(1)得 =n2n-1.anbnT n=120+221+n2n-1, 2Tn=121
5、+222+n2n.3两式相减,得 -Tn=1+21+2n-1-n2n= -n2n=-1+2n-n2n.1-2n1-2T n=(n-1)2n+1.4.(2018 天津,文 18)设 an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN *);bn是等比数列,公比大于 0,其前n 项和为 Tn(nN *).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求 Sn和 Tn;(2)若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值 .解 (1)设等比数列 bn的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故 bn=2n-
6、1.所以, Tn= =2n-1.1-2n1-2设等差数列 an的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故 an=n.所以, Sn= .n(n+1)2(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.2(1-2n)1-2由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得, +2n+1-n-2=n+2n+1,n(n+1)2整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以, n 的值为 4.5.已知 f(x)=2sin x,集合 M=x|f(x)|=2,
7、x0,把 M 中的元素从小到大依次排成一列,得到数列 2an,nN *.(1)求数列 an的通项公式;(2)记 bn= ,设数列 bn的前 n 项和为 Tn,求证: Tn0, 2则 x=k + ,解得 x=2k+1(kZ), 2 2把 M 中的元素从小到大依次排成一列,得到数列 an,所以 an=2n-1.(2)证明 bn= ,1a2n+1= 1(2n+1)21,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5的等差中项 .数列 bn满足 b1=1,数列( bn+1-bn)an的前 n 项和为 2n2+n.(1)求 q 的值;(2)求数列 bn的通项公式 .解 (1)由 a4+2 是 a3
8、,a5的等差中项,得 a3+a5=2a4+4,所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,解得 a4=8.由 a3+a5=20,得 8 =20,(q+1q)解得 q=2 或 q= ,因为 q1,所以 q=2.12(2)设 cn=(bn+1-bn)an,数列 cn前 n 项和为 Sn,由 cn= 解得 cn=4n-1.S1,n=1,Sn-Sn-1,n 2,由(1)可知 an=2n-1,所以 bn+1-bn=(4n-1) .(12)n-1故 bn-bn-1=(4n-5) ,n2,(12)n-2bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)5=(4n-5) +(
9、4n-9) +7 +3.(12)n-2 (12)n-3 12设 Tn=3+7 +11 +(4n-5) ,n2,12 (12)2 (12)n-2Tn=3 +7 +(4n-9) +(4n-5) ,12 12 (12)2 (12)n-2 (12)n-1所以 Tn=3+4 +4 +4 -(4n-5) ,12 12 (12)2 (12)n-2 (12)n-1因此 Tn=14-(4n+3) ,n2,(12)n-2又 b1=1,所以 bn=15-(4n+3) .(12)n-27.已知正项数列 an的首项 a1=1,前 n 项和 Sn满足 an= (n2) .Sn+ Sn-1(1)求证: 为等差数列,并求数列
10、 an的通项公式;Sn(2)记数列 的前 n 项和为 Tn,若对任意的 nN *,不等式 4Tna2-a 恒成立,求实数 a 的取值范1anan+1围 .解 (1)因为 an= ,Sn+ Sn-1所以 Sn-Sn-1= ,Sn+ Sn-1即 =1,Sn- Sn-1所以数列 是首项为 =1,公差为 1 的等差数列,得 =n,Sn S1= a1 Sn所以 an= =n+(n-1)=2n-1(n2),Sn+ Sn-1当 n=1 时, a1=1 也适合,所以 an=2n-1.(2)因为1anan+1= 1(2n-1)(2n+1)= ,12( 12n-1- 12n+1)所以 Tn= +12(1-13 +
11、13-15 12n-1- 12n+1)= .12(1- 12n+1)所以 Tn .要使不等式 4Tna2-a 恒成立,只需 2 a2-a 恒成立,解得 a -1 或 a2,12故实数 a 的取值范围是( - ,-12, + ).68.已知数列 an是公比为 的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 1-a2是 a1与 1+a3的等比中项,数列 bn12是等差数列,其前 n 项和 Tn满足 Tn=n bn+1( 为常数,且 1),其中 b1=8.(1)求数列 an的通项公式及 的值;(2)比较 + Sn的大小 .1T1+1T2+1T3 1Tn与 12解 (1)由题意,得(1 -a2)2=a1(a3
12、+1),即 =a1 ,(1-12a1)2 (14a1+1)解得 a1= .故 an= .12 (12)n设等差数列 bn的公差为 d,又 T1= b2,T2=2 b3,即 8= (8+d),16+d=2 (8+2d),解得 (舍去),故 = . =12,d=8或 =1,d=0 12(2)由(1)知 Sn=1- ,(12)n则 Sn= . 12 12-(12)n+1 14由(1)知 Tn= nbn+1,当 n=1 时, T1=b1= b2,12 12即 b2=2b1=16,故公差 d=b2-b1=8,则 bn=8n,又 Tn=n bn+1,故 Tn=4n2+4n,即 .1Tn= 14n(n+1)=14(1n- 1n+1)因此, +1T1+1T2 1Tn=14(1-12)+(12-13)+(1n- 1n+1)= . 14(1- 1n+1)14由 可知 + Sn.1T1+1T2 1Tn127
