1、11.1.2 基本不等式一、教学目标1了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理 1 和定理 2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题二、课时安排1 课时三、教学重点理解定理 1 和定理 2(基本不等式)四、教学难点掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题五、教学过程（一）导入新课已知 lg xlg y2，则 的最小值为_1x 1y【解析】 lg xlg y2， x0， y0，lg( xy)2， xy10 2， 2 ，当且仅当 x y10 时，等号成立1x 1y 1xy 15【答案】 15（二）讲授新课教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均1两个定理定
2、理 内容 等号成立的条件定理 1 a2 b2 ( a， bR) 当且仅当 时，等号成立定理 2 ( a， b0)a b2 当且仅当 时，等号成立2.算术平均与几何平均如果 a， b 都是正数，我们称 为 a， b 的算术平均， 为 a， b 的几何平均2教材整理 2 利用基本不等式求最值已知 x， y 为正数， x y S， xy P，则(1)如果 P 是 ，那么当且仅当 时， S 取得最小值 ；(2)如果 S 是 ，那么当且仅当 x y 时， P 取得最大值 .（三）重难点精讲题型一、利用基本不等式证明不等式例 1 已知 a， b， c 都是正数，求证： a b c.a2b b2c c2a【
3、精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系【自主解答】 a0， b0， c0， b2 2 a，a2b a2bb同理： c2 b， a2 c.b2c c2a三式相加得： ( b c a)2( a b c)，a2b b2c c2a a b c.a2b b2c c2a规律总结：1首 先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明2当且仅当 a b c 时，上述不等式中“等号” 成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到再练一题1已知 x， y， z 均为正数，求证： .xyz yzx
4、zxy 1x 1y 1z【证明】 x， y， z 都是正数， .xyz yzx 1z(xy yx) 2z同理可得 ， .yzx zxy 2x zxy xyz 2y将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 .xyz yzx zxy 1x 1y 1z题型二、利用基本不等式求最值3例 2 设 x， y， z 均是正数， x2 y3 z0，则 的最小值为_y2xz【精彩点拨】 由条件表示 y，代入到 中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，y2xz求出最小值，但要注意等号取到的条件【自主解答】 由 x2 y3 z0，得 y ，x 3z2 y2xz x2 9z2 6xz4xz 14(xz 9zx 6
5、) 3.14(2xz9zx 6)当且仅当 x y3 z 时， 取得最小值 3.y2xz【答案】 3规律总结：1本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的 y，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题2使用基 本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数；其和或积为定值；等号必须成立，即“一正、二定、三相等” 在具体问题中， “定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键再练一题2已知 x0， y0，且 1，试求 x y 的最小值.1x 9y【解】 x0， y0，且 1，1x 9y x y( x y)(1x 9y) 102 1016.yx 9xy y
6、x9xy当且仅当 ，即 y3 x 时等号成立yx 9xy又 1，当 x4， y12 时，( x y)min16.1x 9y题型三、基本不等式的实际应用例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2016 年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量 x 万件与年促销费 t万元之间满足 3 x 与 t1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是41 万件已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费
7、的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销售完，试将 2016 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数；(2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精 彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量 和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用基本不等式求最值【自主解答】 (1)由题意可设 3 x (k0)，kt 1将 t0， x1 代入，得 k2. x3 .2t 1当年生产 x 万件时，年生产成本为 32x332 3.(32t
8、1)当销售 x 万件时，年销售收入为150% t.32(32t 1) 3 12由题意，生产 x 万件化妆品正好销完，得年利润 y (t0) t2 98t 352t 1(2)y 50 t2 98t 352t 1 (t 12 32t 1)502 502 42，t 12 32t 1 16当且仅当 ，即 t7 时，等号成立， ymax42，t 12 32t 1当促销费定在 7 万元时，年利润最大规律总结：设 出 变 量 建 立 数 学 模 型 定 义 域 利 用 均 值 不 等 式 求 最 值 “ ”成 立 的 条 件 结 论再练一题3如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无
9、盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m2，问当 a， b 各为5多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A， B 孔的面积忽略不计)?【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为 y，由题意 y ，其中 k 为比例系数kab(k0)根据题意，得 22 b2 ab2 a60( a0， b0)， b (由 a0， b0，可得 a0)要求 y 的最小值必须先求出 ab 的 最大值依题设 4b2 ab2 a60，即 ab a2 b30( a0， b
10、0) a2 b2 (当且仅当 a2 b 时取“”)，2ab ab2 30，可解得 00，lg x 2；任意 xR， ax 2；任意 x1lg x 1ax，tan x 2；任意 xR，sin x 2.(0， 2) 1tan x 1sin x其中真命题有( )A B C D.【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定【自主解答】 在中，lg xR，sin x1,1，不能确定 lg x0 与 sin x0.6因此是假命题；在中， ax0， ax 2 2，当且仅当 x0 时，取等号，则是真命题；1ax ax1ax在中，当 x 时，tan x0，有 tan x 2，且 x 时取等号，(0， 2) 1t
11、an x 4是真命题【答案】 C规律总结：1本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件在定理 1 和定理 2 中，“a b”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有 联系：(1) 是a b2 aba2 b22 ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求 a， b 均为正数，后者只要求a， bR；(2) a， b 大于 0 是 的充分不必要条件； a， b 为实数是 a2 b22 ab 的a b2 ab充要条件2当 b a0 时，有变形不等式 a b.2aba b ab a b2 a2 b22再练一题4若 a， bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( )A a2 b22ab B a
12、b2 abC. D. 21a 1b 2ab ba ab【解析】 A 选项中，当 a b 时， a2 b22 ab，则排除 A；当 a0，ab1a 1b 2ab则 0， 0， 2 2，当且仅当 a b 时取“” ，所以选 D.ba ab ba ab baab【答案】 D（四）归纳小结基本不等式Error!（五）随堂检测1下列结论中不正确的是( )A a0 时， a 2 B. 21a ba abC a2 b22 ab D.a2 b2a b227【解析】 选项 A，C 显然正确 ；选项 D 中，2( a2 b2)( a b)2 a2 b22 ab0， a2 b2 成立；而选项 B 中， 2 不成立，
13、因为若a b22 ba abab0，则不满足不等式成立的条件【答案】 B2下列各式中，最小值等于 2 的是( )A. B.xy yx x2 5x2 4Ctan D.2x2 x1tan 【解析】 2 x0,2 x0，2 x2 x2 2，当且仅当 2x2 x，即2x2 xx0 时，等号成立故选 D.【答案】 D3已知 1( x0， y0)，则 xy 的最小值是( )5x 3yA15 B6 C60 D.1【解析】 2 (当且仅当 x10， y6 时，取等号)，5x 3y 15xy2 1， xy60，15xy故 xy 的最小值为 60.【答案】 C六、板书设计1.1.2 基本不等式教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均1两个定理2.算术平均与几何平均例 1：例 2：例 3：例 4：学生板演练习七、作业布置同步练习：1.1.2 基本不等式八、教学反思8
