1、11.1.3 三个正数的算术几何平均数一、教学目标1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题二、课时安排1 课时三、教学重点会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值四、教学难点会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题五、教学过程（一）导入新课已知 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.【证明】 因为 x0， y0，所以 1 x y23 0,1 x2 y3 0，3xy2 3x2y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y（二）
2、讲授新课教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式1如果 a， b， cR ，那么 a3 b3 c3 3abc，当且仅当 时，等号成立2定理 3：如果 a， b， cR ，那么 ，当且仅当 时，等号成a b c3 3abc立即三个正数的算术平均 它们的几何平均教材整理 2 基本不等式的推广对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均 它们的几何平均，即，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an教材整理 3 利用基本不等式求最值若 a， b， c 均为正数，如果 a b c 是定值 S，那么 时，积 abc 有 值；如果积 abc 是定值 P，那么当 a
3、 b c 时，和 有最小值（三）重难点精讲2题型一、证明简单的不等式例 1 设 a， b， c 为正数，求证： (a b c)227.(1a2 1b2 1c2)【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用 a b c3 ，结合不等式的性质证3abc明【自主解答】 a0， b0， c0， a b c3 0，3abc从而( a b c)29 0.3a2b2c2又 3 0，1a2 1b2 1c2 3 1a2b2c2 (a b c)2(1a2 1b2 1c2)3 9 27，3 1a2b2c2 3a2b2c2当且仅当 a b c 时，等号成立规律总结：1(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即
4、a0， b0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式” ，这便是应用基本不等式的“题眼” ，不妨运用平均不等式试试看2连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是 否一致再练一题1设 a， b， c 为正数，求证： (a b c)381.(1a3 1b3 1c3)【证明】 因为 a， b， c 为正数，所以有 3 0.1a3 1b3 1c3 31a31b31c3 3abc又( a b c)3(3 )3 27abc0，3abc (a b c)381，(1a3 1b3 1c3)当且仅当 a b c 时，等号成立题型二、用平均不等式求解实际问题例 2 如图所示，在一张半径是
5、 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边 缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射 到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E k .这里 k 是一个和灯光强度sin r2有 关的常数那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？3【精彩点拨】 根据题设条件建立 r 与 的关系式，将它代入 E k ，得到以sin r2 为自变量， E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的 最值【自主解答】 r ，2cos E k .sin cos24 (0
6、2) E2 sin2 cos4k216 (2sin2 )cos2 cos2k232 3 ，k232(2sin2 cos2 cos23 ) k2108当且仅当 2sin2 cos 2 时取等号，即 tan2 ，tan 时，等号成立12 22 h2tan ，即 h 时， E 最大2 2因此选择灯的高度为 米时，才能使桌子边缘处最亮2规律总结：1本题的关键是在获得了 E k 后，对 E 的函数关系式进行变形求得sin cos24E 的最大值2解应用题时必须 先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解再
7、练一题2制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米 230 元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米 20 元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 r2平方米，侧面积为 2 rh 平方米设用料成本为 y 元，则 y30 r240 rh.桶的容积为 ， r2h ， rh . 2 2 12r4 y30 r2 10 103 ，20r (3r2 1r 1r) 33当且仅当 3r2 时，1r即 r 时等号成立，此时 h .393392故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为 米，高为 米3
8、93392当且仅当 2x21 x2，即 x 时等号成立33 y ， y 的最大值为 .239 239题型三、利用平均不等式求最值例 3 已知 xR ，求函数 y x(1 x2)的最大值【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 x2(1 x2)2 x2(1 x2)(1 x2)2 x2(1 x2)(1 x2) ，求出最值后再开方12【自主解答】 y x(1 x2)， y2 x2(1 x2)22 x2(1 x2)(1 x2) .122 x2(1 x2)(1 x2)2， y2 .12(2x2 1 x2 1 x23 )3 427规律总结：1解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y x(1
9、x2) x(1 x)(1 x) x(22 x)(1 x) .12 12(x 2 2x 1 x3 )3 12虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“”号的条件，显然x22 x1 x 无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的2解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可再练一题3若 2a b0，试求 a 的最小值 .42a bb【解】 a 42a bb 2a b b2 42a bb5 2a b2 b2 42a bb3 3，32a b2 b2 42a bb当且仅当 ，2a b2 b2 42a bb即 a b
10、2 时取等号所以当 a b2 时，a 有最小值为 3.42a bb（四）归纳小结平均不等式Error!（五）随堂检测1已知 x2 y3 z6，则 2x4 y8 z的最小值为( )A3 B2 C12 D1236 2 35【解析】 x2 y3 z6，2 x4 y8 z2 x2 2y2 3z3 3 12.32x22y23z 32x 2y 3z当且仅当 2x2 2y2 3z，即 x2， y1， z 时， 等号成立23【答案】 C2若 a b0，则 a 的最小值为( )1ba bA0 B1 C2 D.3【解析】 a ( a b) b 3 3，当且仅当1ba b 1ba b 3a bb 1ba ba2，
11、b1 时取等号， a 的最小值为 3.故选 D.1ba b【答案】 D3函数 y4sin 2xcos x 的 最大值为_，最小值为_【解析】 y216sin 2 xsin2xcos2x8(sin 2xsin2x2cos2x)8 3(sin2x sin2x 2cos2x3 )8 ，827 64276 y2 ，当且仅当 sin2x2cos 2x，6427即 tan x 时取等号2 ymax ， ymin .893 893【答案】 893 893六、板书设计1.1.3 三个正数的算术几何平均数教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式教材整理 2 基本不等式的推广教材整理 3 利用基本不等式求最值例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数八、教学反思
