1、11.2.1.绝对值三角不等式学习目标1理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理2会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1 不等式| a| b| ab| a| b|中“”成立的条件是怎样的？探究 2 你能给出定理 2 的几何解释吗？探究 3| a b|与| a| b|，| a b|与| a| b|及| a| b|分别具有什么关系？例 1 (1)以下四个命题：若 a， bR，则| a b|2| a| a b|；若| a b|1，则| a|
2、 b|1；2若| x|2，| y|3，则| | ；xy 23若 AB0，则 lg ( lg|A|lg| B|)|A| |B|2 12其中正确的命题有( )A4 个 B3 个C2 个 D1 个(2)不等式 1 成立的充要条件是_|a b|a| |b|变式练习 1(1)若 x5， nN ，则下列不等式：| xlg |5|lg |；nn 1 nn 1| x|lg 5lg ；nn 1 nn 1 xlg 5|lg |；nn 1 nn 1| x|lg 5|lg |.nn 1 nn 1其中，能够成立的有_(2)已知| a| b|， m ， n ，则 m， n 之间的大小关系是( )|a| |b|a b| |
3、a| |b|a b|A m n B m n C m n D m n例 2 已知 a， bR 且 a0，求证： .|a2 b2|2|a| |a|2 |b|2变式练习 2若 f(x) x2 x c(c 为常数)，| x a|1，求证：| f(x) f(a)|2(| a|1)3例 3 已知 a， bR，且| a b1|1，| a2 b4|4.求| a| b|的最大值变式练习 3(1)求函数 y| x3| x1|的最大值和最小值；(2)求函数 y| x4| x3|的最小值4参考答案探究 1 【提示】 不等式| a| b| a b| a| b|右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是 ab0 且
4、| a| |b|；不等式|a| b| a b| a| b|右侧“”成立的条件是 ab0，左侧“”成立的条件是ab0 且| a| b|.探究 2 【提示】 在数轴上， a， b， c 的对应的点分别为 A， B， C.当点 B 在点 A， C之间时，| a c| a b| b c|；当点 B 不在点 A， C之间时，| a c|b|时，有| a| b|0，| a b| a| b| a| b|.必有 1.|a b|a| |b|即 |a|b|是 1 成立的充分条件|a b|a| |b|当 1 时，由| a b|0，必有| a| b|0.|a b|a| |b|即| a|b|，故| a|b|是 1 成立
5、的必要条件故所求为：| a|b|.|a b|a| |b|答案：(1)A (2)| a| b|变式练习 1 解析：(1)0 1.lg 0.nn 1 nn 1由 x5，并不能 确定| x|与 5 的关系，可以否定 ，而| x|lg 0，成立nn 15(2)| a| b| ab| a| b|， m 1，|a| |b|a b| |a b|a b|n 1， m1 n.|a| |b|a b| |a| |b|a| |b|例 2解析 若| a| b|，左边 .|a b|a b|2|a| |a b|a b|a b a b| |a b|a b|a b| |a b| 11|a b| 1|a b| ， ，1|a b|
6、 1|a| |b| 1|a b| 1|a| |b| .1|a b| 1|a b| 2|a| |b|左边 右边|a| |b|2若| a|0，右边0，原不等式显然成立若| a| b|，原不等式显然成立综上可知原不等式成立变式练习 2 证明：| f(x) f(a)|( x2 x c)( a2 a c)| x2 x a2 a|( x a)(x a1)| x a|x a1| x a1| (x a)(2 a1)| x a|2 a1| x a|2 a|112| a|12(| a|1)例 3解析 | a b|( a b 1)1| a b1|1|2，|a b|3( a b1)2( a2 b4)5|3| a b1|2| a2 b4|5324516.若 ab0，则| a| b| a b|2；若 ab0，则| a| b| a b|16.而当 1,24即 a8， b8 时，6|a| b|取得最大值， 且| a| b| a b|16.变式练习 3解：(1)法一：| x3| x1|( x3)( x1)|4，4| x3| x1|4. ymax4， ymin4.法二：把函数看作分段函数 y| x3| x1|4,1,23,.x4 y4. ymax4， ymin4.(2)|x4| x3|( x4)( x3)|1， ymin1.
