1、12.1 比较法预习目 标1.理解用比较法证明不等式的原理和思路2会运用比较法证明简单的不等式.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究1.作差比较法(1)作差比较法常用于多项式、分式形式的不等式，其关键步骤是变形常用技巧是：通分、配方、因式分解等变形的目的是直观地看出与 0 的大小关系(2)在比较大小关系的问题中，很多情况下是可以直接作差比较的，但是为了得到准确的结果，可以先用特殊值试之，对比较结果进行预测，这样在比较过程中，不会因为疏忽造成结果的错误，尤其在多个数或式比较中，为了避免两两比较的烦琐，可以提前赋值预测，再进行比较2作商比较法(1)在作
2、商比较法中 1ba 是不正确的，因为与 a， b 的符号有关，当 a0， b0 时，ba1ba 是正确 的，若 a1b0， b0.探究 1 作差比较法和作商比较法的实质分别是什么？探究 2 作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？例 1 求 证：(1) a2 b22( a b1)；(2)若 abc，则 bc2 ca2 ab20，求证：2 a3 b32 ab2 a2b.例 2 已知 a2，求证：log a(a1)log (a1) a.变式练习 2设 a0， b0，求证： aabb( ab) .a b2例 3 甲、乙 二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n
3、行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一 半路程以速度 n 行走如果 mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？3变式练习 3证明：通过水管 放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大4参考答案探究 1【提示】 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与 0 的大小关系作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与 1 的大小关系.探究 2【提示】 “作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“ a ba b0， a ba b0， a ba b0” ，其
4、一般步骤为“作差变形判号定论” 其中 变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等当所得的“差式”是某个字母的二 次三项式时，则常用判别式法判断符号作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式例 1 精讲详析 本题考查作差比较法的应用解答本题的步骤为作差因式分解判断符号得出结论(1)a2 b22( a b1)( a1) 2( b1) 20， a2 b22( a b1)(2)bc2 ca2 ab2( b2c c2a a2b)( bc2 c2a)( ca2 b2c)( ab2 a2b)
5、c2(b a) c(a b)(a b) ab(b a)( b a)(c2 ac bc ab)( b a)(c a)(c b)， abc， b a0，所以 a b0， a b0，2 a b0，从而( a b)(a b)(2a b)0 ，即 2a3 b32 ab2 a2b.例 2 精讲详析 本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小 a2， a11.5log a(a1)0，log (a1) a0，由于loga（ a 1）log（ a 1） alog a(a1)log a(a1)0，( ab) 0，a b2 a b .aabb（ ab） a
6、b2 a b2 b a2 (ab)a b2 当 a b 时，显然有 1.(ab)a b2 当 ab0 时， 1， 0.ab a b2当 ba0 时，0 .(ab)a b2 (ab)0 即 1.(ab)a b2 综上可知，对任意实数 a、 b，都有 aabb( ab) .a b2例 3 精讲详析 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程 s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间 t1、t 2，然后利用作差法比较 t1，t 2的大小即可设从出发地点 至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为6t1、t 2，依题意有：m ns， t 2.t12 t12 s2m s2nt 1 ，t 2 .2sm n s（ m n）2mnt 1t 2 2sm n s（ m n）2mns4mn （ m n） 22mn（ m n） .s（ m n） 22mn（ m n）其中 s，m，n 都是正数，且 mn，t 1t 20，即 t1t 2.从而知甲比乙先到达指定地点变式练习 3 证明：设截面的周长为 L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为 2，截面是正方形的水管的截面面积为 .(L2 ) (L4)2 0，(L2 )2 (L4)2 L24 L216 L2（ 4 ）16 ，(L2 )2 (L4)2 原结论得证
