1、14.1 数学归纳法预习案一、预习目标及范围1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题二、预习要点教材整理 数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 时命题成立；(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成 立这种证明方法称为数学归纳法三、预习检测1用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (a1， nN *)，在验证 n11 an 21 a时，等式 左边的项是( )A1 B1 aC1 a a2 D1 a a2 a32在
2、应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条 时 ，第一步检验 n 等于( )12A1 B2C3 D03已知 f(n) ，则( )1n 1n 1 1n 2 1n2A f(n)中共有 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13B f(n)中共有 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 14C f(n)中共有 n2 n 项，当 n2 时， f(2) 12 13D f(n)中共有 n2 n1 项，当 n2 时， f(2) 12 13 14探究案一、合作探究2题型一、用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：1 .12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n
3、【精彩点拨】 要证等式的左边共 2n 项，右边共 n 项， f(k)与 f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“ n k”到“ n k1”时要注意项的合并再练一题1用数学归纳法证明：122 23 24 2(2 n1) 2(2 n)2 n(2n1)题型二、用数学归纳法证明整除问题例 2 用数学归纳法证明：(3 n1)7 n1 能被 9 整除( nN )【精彩点拨】 先验证 n1 时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k1)与 f(k)的关系并设法配凑再练一题2求证： n3( n1) 3( n2) 3能被 9 整除.题型三、证明几何命 题例 3 平面内有
4、 n(n2， nN )条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少？并证明你的结论【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求 f(2)， f(3)， f(4)，猜想出一般性结论 f(n)；(2)利用数学归纳法证明再练一题3在本例中，探究 这 n 条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明题型四、数学归纳法的概念例 4 用数学归纳法证明：1 a a2 an1 (a1， nN )，在验证1 an 21 an1 成立时，左边计算的结果是( )A1B1 a3C1 a a2D1 a a2 a3【精彩点拨】 注意左端特征，共有 n2 项，首项为 1，最后一项
5、为 an1 .再练一题4当 f(k)1 ，则 f(k1) f(k)_.12 13 14 12k 1 12k二、随堂检测1用数学归纳法证明：123(2 n1)( n1)(2 n1)时，在验证 n1成立时，左边所得的代数式为( )A1 B13C123 D.12 342某个与正整数 n 有关的命题，如果当 n k(kN 且 k1)时命题成立，则一定可推得当 n k1 时，该命题也成立现已知 n5 时，该命题不成立，那么应有( )A当 n4 时，该命题成立B当 n6 时，该命题成立C当 n4 时，该命题不成立D当 n6 时，该命题不成立3用数学归纳法证明等式( n1)( n2)( n n)2 n13(
6、2n1)( nN )时，从“ n k 到 n k1”左端需乘以的代数式为( )A2 k1 B2(2 k1)C. D.2k 1k 1 2k 3k 14参考答案预习检测：1.答案 C2.答案 C解析 凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n3.3.答案 D随堂检测：1.【解析】 当 n1 时左边所得的代数式为 123.【答案】 C2.【解析】 若 n4 时命题成立，由递推关系知 n5 时命题成立，与题中条件矛盾，所以 n4 时，该命题不成立【答案】 C3.【解析】 当 n k 时，等式为( k1)( k2)( k k)2 k13(2k1)当 n k1 时，左边( k1)1( k1)2( k1) k(k1)( k1)( k2)( k3)( k k)(2k1)(2 k2)比较 n k 和 n k1 时等式的左边，可知左端需乘以2)2(2 k1)故选 B.【答案】 B
