1、14.1 数学归纳法一、教学目标1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题二、课时安排1 课时三、教学重点1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题四、教学难点1了解数学归纳法的原理及其使用范围2会利用数学归纳法证明一些简单问题五、教学过程（一）导入新课数学归纳法证明中，在验证了 n1 时命题正确，假定 n k 时命题正确，此时 k 的取值范围是( )A kN B k1， kN C k1， kN D.k2， kN 【解析】 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法，所以 k 是正整数，又第一步是递推的基础，所以 k 大于等于 1.【
2、答案】 C（二）讲授新课教材整理 数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 时命题成立；(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法（三）重难点精讲题型一、用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明：21 .12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n【精彩点拨】 要证等式的左边共 2n 项，右边共 n 项， f(k)与 f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“
3、n k”到“ n k1”时要注意项的合并【自主解答】 当 n1 时，左边1 右边，所以等式成立12 12 11 1假设 n k(k1， kN )时等式成立，即1 ，则当 n k1 时，12 13 14 12k 1 12k 1k 1 1k 2 12k左边1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 ( 1k 1 1k 2 12k) 12k 1 12k 2 (1k 2 12k 12k 1) ( 1k 1 12k 2) 右边，1k 2 12k 12k 1 12k 2所以， n k1 时等式成立由知，等式对任意 nN 成立规律总结：1用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项” ，弄清
4、等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关由 n k 到 n k1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项2利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述 n n0时命题的形式，二是要准确把握由 n k 到 n k1 时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明 n k1 成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节再练一题1用数学归纳法证明：122 23 24 2(2 n1) 2(2 n)2 n(2n1)【证明】 (1)当 n1 时，左边1 22 23，右 边1(211)3，等式成立(2)假设当 n k(k1)时，等式成立，就是122 23
5、 24 2(2 k1) 2(2 k)2 k(2k1)当 n k1 时，122 23 24 2(2 k1) 2(2 k)2(2 k1) 2(2 k2) 2 k(2k1)(2 k1) 22( k1) 23 k(2k1)(4 k3)(2 k25 k3)( k1)2( k1)1，所以 n k1 时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何 nN 都成立题型二、用数学归纳法证明整除问题例 2 用数学归纳 法证明：(3 n1)7 n1 能被 9 整除( nN )【精彩点拨】 先验证 n1 时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k1)与 f(k)的关系并设 法配凑【自主解答】 (1)当 n1
6、 时，原式(311)7127，能被 9 整除，命题成立(2)假设当 n k(kN ， k1)时，(3 k1)7 k1 能被 9 整除，则当 n k1 时， 3(k1)17 k1 121( k1)77 k1(3 k1)(18 k27)7 k1(3 k1)7 k19(2 k3)7 k.(3 k1)7 k1和 9(2k3)7 k都能被 9 整除， (3k1)7 k19(2 k3)7 k能被 9 整除，即3( k1)17 k1 1 能被 9 整除，即当 n k1 时命题成立由(1)(2)可知，对任何 nN ，命题都成立，即(3 n1)7 n1 能被 9 整除(nN )规律总结：1证明本题时关键是用归纳
7、假设式子(3 k1)7 k1 表示 n k1 时的式子2用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证一般地，证明一个与 n 有关的式子 f(n)能被一个数 a(或一个代数式 g(n) 整除，主要是找到 f(k1)与 f(k)的关系，设法 找到式子 f1(k)， f2(k)，使得 f(k1) f(k)f1(k) f2(k)再练一题2求证： n3( n1) 3( n2) 3能被 9 整除.【证明】 (1)当 n1 时，1 3(11) 3(12) 336,36 能被 9 整除，命题成立(2)假设 n k(k1， kN
8、)时，命题成立，即 k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除，当 n k1 时，( k1) 3( k2) 3( k3) 3( k1) 3( k2) 3 k33 k233 k323 3 k3( k1) 3( k2) 39( k23 k3)，4由归纳假设知，上式中两项都能被 9 整除，故 n k1 时，命题也成立由(1)和(2)可知，对 nN 命题成立.题型三、证明几何命题例 3 平面内有 n(n2， nN )条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这 n 条直线的交点个数 f(n)是多少？并证明你的结论【精彩点拨】 (1)从特殊入手，求 f(2)， f(3)， f(4)，猜想出
9、一般性结论 f(n)；(2)利用数学归纳法证明【自主解答】 当 n2 时， f(2)1 ；当 n3 时， f(3)3；当 n4 时， f(4)6.因此猜想 f(n) (n2， nN )nn 12规律总结：下面利用数学归纳法证明 ：(1)当 n2 时，两条相交直线有一个交点，又 f(2) 2(21)1.12 n2 时，命题成立(2)假设当 n k(k2 且 kN )时命题成立，就是该平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k) k(k1)，12当 n k1 时，其中一条直线记为 l，剩下的 k 条直线为 l1， l2， lk.由归纳假设知，剩下的 k 条直线之间的交点个数为 f(k)
10、).由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线 l 与 l1， l2， l3， lk的交点共有 k 个， f(k1) f(k) k () kk2 k2 12 12，当 n k1 时，命题成立由(1)(2)可知，命题对一切 nN 且 n2 时成立1从特殊入手，寻找一般性结论，并探索 n 变化时，交点个数间的关系2利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由 n k 到 n k1 时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因再练一题53在本例中，探究这 n 条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明【解】 设分割成线段或射线的条数为 f(n)，则 f(2)4，
11、f(3)9， f(4)16.猜想 n 条直线分割成线段或射线的条数 f(n) n2(n2)，下面利用数学归纳法证明(1)当 n2 时，显然成立(2)假设当 n k(k2，且 kN )时，结论成立， f(k) k2.则当 n k1 时，设有 l1， l2， lk， lk1 ，共 k1 条直线满足题设条件不妨取出直线 l1，余下的 k 条直线 l2， l3， lk， lk1 互相分割成 f(k) k2条射线或线段直线 l1与这 k 条直线恰有 k 个交点，则直线 l1被这 k 个交点分成 k1 条射线或线段 k 条直线 l2， l3， lk1 中的每一条都与 l1恰有一个交点， 因此每条直线又被这
12、一个交点多分割出一条射线或线段，共有 k 条故 f(k1) f(k) k1 k k22 k1( k1) 2，当 n k1 时，结论正确由(1)(2)可知，上述结论对 一切 n2 且 nN 均成立题型四、数学归纳法的概念例 4 用数学归纳法证明：1 a a2 an1 (a1， nN )，在验证1 an 21 an1 成立时，左边计算的结果是( )A1B1 aC1 a a2D1 a a2 a3【精彩点拨】 注意左端特征，共有 n2 项，首项为 1，最后一项为 an1 .【自主解答】 实际是由 1(即 a0)起，每项指数增加 1，到最后一项为 an1 ，所以n1 时，左边的最后一项应为 a2，因此左
13、边计算的结果应为 1 a a2.【答案】 C规律总结：1验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1.2递推是关键：正确分析由 n k 到 n k1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障再练一题4当 f(k)1 ，则 f(k1) f(k)_.12 13 14 12k 1 12k6【解析】 f(k1)1 12()k，12 13 14 12k 1 12k 12k 1 f(k1) f(k) ()k.12k 1【答案】 12k 1 12k 2（四）归纳小结数学归纳法Error!（五）随堂检测1用数学归纳法证明：123(2 n1)( n1)(2 n1)时，在验证 n1
14、 成立时，左边所得的代数式为( )A1 B13C12 3 D.1234【解析】 当 n1 时左边所得的代数式为 123.【答案】 C2某个与正整数 n 有关的命题，如果当 n k(kN 且 k1)时命题成立，则一定可推得当 n k1 时，该命题也成立现已知 n5 时，该命题不成立，那么应有( )A当 n4 时，该命题成立B当 n6 时，该命题成立C当 n4 时，该命题不成立D当 n6 时，该命题不成立【解析】 若 n4 时命题成立，由递推关系知 n5 时命题成立，与题中条件矛盾，所以 n4 时，该命题不成立【答案】 C3用数学归纳法证明等式( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)(
15、 nN )时，从“ n k 到 n k1”左端需乘以的代数式为( )A2 k1 B2(2 k1)C. D.2k 1k 1 2k 3k 1【解析】 当 n k 时，等式为( k1)( k2)( k k)2 k13(2k1)当 n k1 时，左边( k1)1( k1)2( k1) k(k1)( k1)( k2)( k3)( k k)(2k1)(2 k2)比较 n k 和 n k1 时等式的左边，可知左端需乘以7(21)k2(2 k1)故选 B.【答案】 B六、板书设计4.1 数学归纳法教材整理 数学归纳法 的概念例 1：例 2：例 3：例 4：学生板演练习七、作业布置同步练习：4.1 数学归纳法八、教学反思
