1、14.2 用数学归纳法证明不等式举例学习目标1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路2会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1 x)n1 nx(x1， x0， n 为大于 1 的自然数)3了解 n 为实数时贝努利不等式也成立.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究 在应用贝努利不等式时应注意什么？名师点拨：1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解当指数 n 推广到任意实数 时， x1 时，若 01，则(1 x) 1 x .当且仅当 x0 时等号成立2贝努利不等式的应用贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x1， x0， n 为大于 1 的自然数
2、，那么有(1 x)n1 nx.推论：当 x 是实数，且 x1， x0， n 为不小于 2 的正整数时，有 n1 .(1x1 x) nx1 x3数学归纳法与其他方法的联系数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证 n k1 命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法2等4用数学归纳法证明不等式时常用技巧用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值 n0
3、的定位，要弄清楚 n k 和n k1 时的结论是什么，要有目标意识，紧盯 n k1 时的目标，对 n k1 时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是 n k1 时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论” 常用放缩法做辅助手段【例 1】 求证： (n2， nN)1n 1 1n 2 1n 3 13n56【变式训练 1】 用数学归纳法证明：1 0，且 a1)，记 Sn为数列 an的前 n 项和，(11bn)试比较 Sn与 logabn1 的大小，并证明你的结论13【变式训练 3】 在数列 an， bn中， a12， b14，且 an， bn， an1 成等差数列，bn， an1 ， bn1 成等比
4、数列( nN )(1)求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测 an， bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明： 1，且 x0.【例 1】 【分析】 本题由 n k 到 n k1 时的推证过程中， n k 时，首项是 ，尾项1k 1是 ，分母是从 k1 开始的连续正整数，因而当 n k1 时，首项应为 ，尾项是 ，13k 1k 2 13 k 1与 n k 时比较， 后面增加 ， ， 共三项，而不只是增加 一项，且还减13k 13k 1 13k 2 13k 3 13 k 1少了一项 .1k 1【证明】 (1)当 n2 时，左边 ，不等式成立13 14 15 16 57605
5、6(2)假设 n k(k2， nN)时，不等式成立，即 ，1k 1 1k 2 13k56则当 n k1 时， 1 k 1 1 1 k 1 2 13k 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1 1k 2 13k(13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) 56 ( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) 56 ( 13k 3 13k 3 13k 3 1k 1) .56 ( 33 k 1 1k 1) 56当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)，知原不等式对一切 n2 的自然数都成立【变式训练 1】证明 (1)当 n2 时，1 22，不等式也成立(112) 92(2)假设 n
6、k(k2)时，不等式成立，即(12 k) k2.(112 13 1k)则当 n k1 时，有左边(12 k)( k1) (112 1k) 1k 1(12 k) (12 k) ( k1) 1(112 1k) ( 1k 1) (1 12 1k) k2 1( k1) .k2 (1 12 1k)当 k2 时，1 1 ，(*)12 1k 12 32左边 k2 1 (k1)k2 32 k22 k1 (k1) 2.32这就是说当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)知，当 n1 时，原不等式成立【变式训练 2】证明 (1)当 n1 时，左边1，右边 1，211 1左边右边当 n2 时，左边 ，右边 ，
7、，32 43 3243左边右边，当 n1 或 n2 时，不等式成立6(2)假设当 n k(k1)时，不等式成立，即1 .12 13 1k 2kk 1当 n k1 时，左边1 .12 13 1k 1k 1 2kk 1 1k 1 2k 1k 1 0，2k 1k 1 2 k 1 k 1 1 k k 1 k 2 右边，2k 1k 1 2 k 1 k 1 1由不等式的传递性知，左边右边当 n k1 时，不等式也成立由(1)(2)，可得对一切 nN 不等式都成立【例 3】 【解】 (1)设数列 bn的公差为 d，由题意得Error!Error! bn3 n2.(2)由 bn3 n2 知Snlog a(11
8、)log a(1 )log a14 (1 13n 2)log a ， 1 1 114 (1 13n 2)而 logabn1 log a .13 33n 1于是，比较 Sn与 logabn1 的大小即比较(11) 与 的大小13 (1 14) (1 13n 2) 33n 1取 n1，有(11) .3834 331 1取 n2，有(11) (114) 3837 .332 1由此猜想：(11) .(*)(114) (1 13n 2) 33n 1下面用数学归纳法证明：当 n1 时，已验证(*)成立假设 n k(k1)时，(*)成立，即(11) ，(114) (1 13k 2) 33k 17则当 n k
9、1 时，(11) (114) (1 13k 2)1 13 k 1 2 .33k 1(113k 1) 3k 23k 133k 1 3 3(3k 23k 133k 1) (33k 4) 0， 3k 2 3 3k 4 3k 1 2 3k 1 2 9k 4 3k 1 2 (3k2) .33k 13k 1 33k 4 33 k 1 1从而(11) ，即当 n k1 时(*)也成立(114) (1 13k 2)(1 13k 1) 33 k 1 1由与知，(*)对任意正整数 n 都成立所以，当 a1 时， Sn logabn1 ，13当 02( n1) n.故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn16 12 123 134 1n n 1 16 12(12 13) (13 14) (1n 1n 1) .16 12(12 1n 1)16 14 512综上，原不等式成立
