1、1中档大题保分练(01)(满分：46 分 时间：50 分钟)说明：本大题共 4 小题，其中第 1 题可从 A、B 两题中任选一题； 第 4 题可从 A、B 两题中任选一题. 共 46 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(A)(12 分)已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边长分别为 a， b， c，且 tan 3cacos BAtan B(1)求角 A 的大小；(2)设 D 为 AC 边上一点，且 BD5， DC3， a7，求 c解：(1)在 ABC 中， tan Atan B，3cacos B 3sin Csin Acos B sin Acos A sin Bcos B即 ，3
2、sin Csin Acos B sin Acos B sin Bcos Acos Acos B .则 tan A ， A 3sin A 1cos A 3 3(2)由 BD5， DC3， a7，得 cos BDC ， BDC ，25 9 49235 12 23又 A ， ABD 为等边三角形， c5 31(B)(12 分)已知等比数列 an中， an0， a14， ， nN *1an 1an 1 2an 2(1)求 an的通项公式；(2)设 bn(1) n(log2an)2，求数列 bn的前 2n 项和 T2n解：(1)设等比数列 an的公比为 q，则 q0，因为 ，所以 ，1an 1an 1
3、2an 2 1a1qn 1 1a1qn 2a1qn 1因为 q0，解得 q2，所以 an42 n1 2 n1 ， nN *(2)bn(1) n(log2an)2(1) n(log22n1 )2(1) n(n1) 2，设 cn n1，则 bn(1) n(cn)2，T2n b1 b2 b3 b4 b2n1 b2n( c1)2( c2)2( c3)2( c4)2( c2n1 )2( c2n)22( c1 c2)(c1 c2)( c3 c4)(c3 c4)( c2n1 c2n)(c2n1 c2n) c1 c2 c3 c4 c2n1 c2n n(2n3)2 n23 n2n2 2n 1 22(12 分)如
4、图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD6， AA12 ，点 E 在棱 BC 上，3CE2，点 F 为棱 C1D1的中点，过 E， F 的平面 与棱 A1D1交于 G，与棱 AB 交于 H，且四边形 EFGH 为菱形(1)证明：平面 A1C1E平面 BDD1B1；(2)确定点 G， H 的具体位置(不需说明理由)，并求四棱锥 BEFGH 的体积(1)证明：在矩形 A1B1C1D1中， AB AD， A1B1 A1D1， A1C1 B1D1又 BB1平面 A1B1C1D1， BB1 A1C1 BB1 B1D1 B1， A1C1平面 BDD1B1又 A1C1平面 A1C1E，平面 A
5、1C1E平面 BDD1B1(2)解： G 为棱 A1D1上靠近 A1的三等分点， H 为棱 AB 的中点，HB3， BE4，所以 HBE 的面积 S HBE HBBE 43612 12于是四棱锥 BEFGH 的体积 VBEFGH2 VBEFH2 VFBEH2 S13HBEBB12 62 8 13 3 33(12 分)2018 年 2 月 22 日， 在平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况收集了 200 位男
6、生、100 位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位：小时)又在 100 位女生中随机抽取 20 个人已知这 20 位女生的数据茎叶图如图所示.3(1)将这 20 位女生的时间数据分成 8 组，分组区间分别为0,5)，5,10)，30,35)，35,40，完成频率分布直方图；(2)以(1)中的频率作为概率，求 1 名女生观看冬奥会时间不少于 30 小时的概率；(3)以(1)中的频率估计 100 位女生中累计观看时间小于 20 个小时的人数已知 200 位男生中累计观看时间小于 20 小时的男生有 50 人请完成下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”
7、. P(K2 k0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附： K2 (n a b c d)n ad bc 2 a b c d a c b d解：(1)由题意知样本容量为 20，频率分布表如下：分组 频数 频率 频 率组 距0,5) 1 120 0.015,10) 1 120 0.0110,15) 4 15 0.0415,20) 2 110 0.0220,25) 4 15 0.0425,30) 3 320 0.0330,35) 3 320 0.0335,40 2 110 0.02合计 20 1 0.20频率分布直方图为：4(2)因为(1
8、)中30,40的频率为 ，320 110 14所以 1 名女生观看冬奥会时间不少于 30 小时的概率为 14(3)因为(1)中0,20)的频率为 ，故可估计 100 位女生中累计观看时间小于 20 小时的人25数是 100 40.所以累计观看时间与性别列联表如下：25男生 女生 总计累计观看时间小于 20 小时 50 40 90累计观看时间不小于 20 小时 150 60 210总计 200 100 300结合列联表可算得K2 7.1436.635，300 5060 15040 220010021090 507所以，有 99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关” 4(A)(10
9、分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为 cos2 8sin (1)求曲线 C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M， N，求| MN|解：(1)因为 cos2 8sin ，所以 2cos2 8 sin ，即 x28 y，所以曲线 C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为 y 轴的抛物线(2)直线 l 过抛物线的焦点(0,2)，且参数方程为Error!( t 为参数)，代入曲线 C 的
10、直角坐标方程，得 t22 t200，5所以 t1 t22 ， t1t2205所以| MN| t1 t2| 10 t1 t2 2 4t1t24(B)(10 分)选修 45：不等式选讲5已知函数 f(x)| x5| x3|(1)解关于 x 的不等式 f(x) x1；(2)记函数 f(x)的最大值为 m，若 a0， b0，e ae4be 4ab m，求 ab 的最小值解：(1)当 x3 时，由 5 x x3 x1，得 x7，所以 x3；当3 x5 时，由 5 x x3 x1，得 x ，所以3 x ；13 13当 x5 时，由 x5 x3 x1，得 x9，无解综上可知， x ，13即不等式 f(x) x1 的解集为 ( ，13(2)因为| x5| x3| x5 x3|8，所以函数 f(x)的最大值 m8因为 eae4be 4ab8 ，所以 a4 b4 ab8又 a0， b0，所以 a4 b2 4 ，4ab ab所以 4ab84 0，即 ab 20ab ab所以有( 1)( 2)0ab ab又 0，所以 2， ab4，ab ab即 ab 的最小值为 4
