1、1高考仿真模拟练高考仿真模拟练(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A x|x1， B y|y x2， xR，则 A B( )A0，) B(1，)C0,1) D(0，)解析：选 B 因为 A x|x1， B y|y x2， xR0，)，所以A B(1)，选 B.2已知抛物线 y2 x，则它的准线方程为( )18A y2 B y2 C x D y132 132解析：选 C 因为抛物线 y2 x，所以 p ， ，所以它的准线方程为18 116 p2 132x ，故
2、选 C.1323如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为( )A. (1) B (1)163 83C. (23) D (2)43 43解析：选 A 依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故所求体积为 V 442 2 24 (1)故选 A.13 12 13 1634若实数 x， y 满足Error!则 z2 x y 的最大值为( )A2 B5C7 D8解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，2由 z2 x y，可得 y2 x z，平行移动 y2 x z，由图象可知当直线经过点 A 时，直线的纵截距最大，即 z 最大联立Err
3、or!得 A(3,1)，所以 zmax2317.5若关于 x 的不等式 x24 x m 对任意 x0,1恒成立，则实数 m 的取值范围为( )A(，3 B3，)C3,0) D4，)解析：选 A x24 x m 对任意 x0,1恒成立，令 f(x) x24 x， x0,1， f(x)的对称轴为 x2， f(x) 在0,1单调递减，当 x1 时， f(x)取到最小值为3, 实数 m 的取值范围为(，3，故选 A.6在等比数列 an中， “a4， a12 是方程 x23 x10 的两根”是“ a81”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 由根与系数
4、的关系可知 a4 a123， a4a121，所以 a40)，3则 x2 k， y3 k， z5 k，所以 x12 ， y13 ， z155k.对以上三式两边同时 乘方，30k则( x12)30k2 15，( y13) 3 10，( z15)30k5 6，显然 z 5最小，故选 C.9将函数 f(x)2sin ( 0)的图象向右平移 个单位，得到函数 y g(x)( x 6) 6的图象，若 y g(x)在 上为增函数，则 的最大值为( ) 6， 4A3 B2C. D32 125解析：选 B 由题意可知 g(x)2sin 2sin x ( 0)，由 y g(x) (x6 ) 6在 上为增函数，得
5、， 2，所以 的最大值为 2. 6， 4 4 210已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，向量 e12e 2与 2e1 e2的夹角为 ，则 3 23 ( )A B3 23C 或3 D123解析：选 B 因为 e1e2|e 1|e2|cos ， 3 12所以|e 12e 2| ， e1 2 4e1e2 2e2 2 7|2e1 e2| ， 2e1 2 4 e1e2 e2 2 4 2 2(e12e 2)(2e1 e2)2e ( 4)e 1e22 e 4 ，21 252又向量 e12e 2与 2e1 e2的夹角为 ，23所以 ， e1 2e2 2e1 e2|e1 2e2|2e1 e2| 4 5274
6、2 2 12解得 3.二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)411已知三棱锥 O ABC 底面 ABC 的顶点在半径为 4 的球 O 表面上，且 AB6， BC2， AC 4 ，则三棱锥 O ABC 的体积为_3 3解析： AB6， BC2 ， AC4 ，3 3 AB2 BC2 AC2， AB BC.取 AC 的中点 O1，连接 OO1， BO1，则 O1为 ABC 外接圆的圆心， OO1平面 ABC， OO1 BO1. OB4， BO12 ，3 OO1 2.42 23 2三棱锥 OABC 的体积 V 62 24 .13 12 3 3答案：4 3
7、12已知 a， bR，( a bi)234i (i 是虚数单位)则 a2 b2 _， ab_.解析：由题意可得 a2 b22 abi34i，则Error! 解得Error!则 a2 b25， ab2.答案：5 213已知 ABC 和点 M，满足 0，若存在实数 m，使得MA MB MC m 成立，则点 M 是 ABC 的_，实数 m_.AB AC AM 解析：由 0 知，点 M 为 ABC 的重心设点 D 为底边 BC 的中点，MA MB MC 则 ( ) ( )，所以有 3 ，故AM 23AD 23 12 AB AC 13 AB AC AB AC AM m3.答案：重心 314.三国时期吴国
8、数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用 2勾股(股勾) 24朱实黄实弦实，化简，得勾 2股 2弦 2，设勾股中勾股比为 1 ，若向弦图内随机抛掷 1 3000 颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为_解析：设勾为 a，则股为 a，弦为 2a，3则图中大四边形的面积为 4a2，小四边形的面积为( 1) 2a2(42 )a2，3 35则图钉落在黄色图形内的概率为 1 . 4 23 a24a2 32所以落在
9、黄色图形内的图钉数大约为 1 000 134.(132)答案：13415在 ABC 中， AB AC4， BC2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD2，连接 CD，则BCD 的面积为_，cos BDC_.解析：取 BC 的中点 E，连接 AE，由题意知 AE BC，在 ABE 中，cos ABC ，BEAB 14cos DBC ，sin DBC ，14 1 116 154 S BCD BDBCsin DBC .12 152 ABC2 BDC，cos ABCcos 2 BDC2cos 2 BDC1 ，14解得 cos BDC 或 cos BDC (舍去)104 104综上可得， BCD 面积
10、为 ，cos BDC .152 104答案： 152 10416已知函数 f(x)Error!则 f(f(4)_； f(x) 的最大值是_解析：因为函数 f(x)Error!所以 f(4)1 1， f(f(4) f(1)2 1 .412当 x0 时， f(x)1 单调递减，即有 f(x)1；x当 x0, x 1x2所以 f(x)在(0，)上单调递增(2)由已知得， g( x) .ax2 5x ax2因为 g(x)在其定义域内为增函数，所以 x(0，)，g( x)0，即 ax25 x a0，即 a .5xx2 1而 ，当且仅当 x1 时，等号成立，5xx2 1 5x2x 52所以 a .52即实
11、数 a 的取值范围为 .52， )21(本小题满分 15 分)已知椭圆 C： 1( ab0)经过点 P ，且两焦点与x2a2 y2b2 (1， 22)短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的方程；(2)动直线 l： mx ny n0( m， nR )交椭圆 C 于 A， B 两点，试问：在坐标平面上13是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T.若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)椭圆 C： 1( ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角x2a2 y2b2三角形， a b， 1，2x22b2 y2b29又椭圆经过点 P ，代入可得
12、 b1.(1，22) a ，故所求椭圆 C 的方程为 y21.2x22(2)动直线 l： mx ny n0 可化为 mx n 0，当 x0 时， y ，所以动直13 (y 13) 13线 l 恒过点 .(0， 13)当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程为x2 2 2，(y13) (43)当 l 与 y 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程为x2 y21.由Error! 解得Error!即两圆相切于点(0,1)，因此所求的点 T 如果存在，只能是(0,1)，事实上，点 T(0,1)就是所求的点证明如下：当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T(0,1)，当直线
13、l 不垂直于 x 轴，可设直线 l： y kx .13由Error! 消去 y，得(18 k29) x212 kx160.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，12k18k2 9 1618k2 9又因为 ( x1， y11)， ( x2， y21)，TA TB 所以 x1x2( y11)( y21)TA TB x1x2 (kx143)(kx2 43)(1 k2)x1x2 k(x1 x2)43 169(1 k2) k 0. 1618k2 9 43 12k18k2 9 169所以 TA TB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1)所以在坐标平面上存在一个
14、定点 T(0,1)满足条件22(本小题满分 15 分)数列 an满足 a12 a2 nan4 (nN *)n 22n 1(1)求 a3的值；10(2)求数列 an前 n 项和 Tn；(3)令 b1 a1， bn an(n2)，证明：数列 bn的前 n 项和 SnTn 1n (1 12 13 1n)满足 Sn1)，1x则 f( x) 0，1x 1x2 x 1x2 f(x)在(1，)上是增函数，又 f(1)0， f(x)0，又 k2 且 kN *时， 1，kk 111 f ln 10，即 ln ，(kk 1) kk 1 1kk 1 kk 11k ”是“cos cos ”的( )A充要条件 B充分不
15、必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D 因为当 时，cos cos 不成立；当 cos cos 3 6 6时， 不成立，所以“ ”是“cos cos ”的既不充分也不必要条件， 3故选 D.3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A B 43 2312C D4 3 4 23解析：选 A 由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为 1，高为 2，体积为 1 22，四棱锥的体积12为 41 ，所以该几何体的体积为 ，故选 A.13 43 434若实数 x， y 满足约束条件Error!则 z2 x y 的取值范围
16、是( )A3,4 B3,12C3,9 D4,9解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由Error! 得 A(1,1)；由Error! 得 B(3,3)，平移直线 y2 x z，当直线经过 A， B 时分别取得最小值 3，最大值 9，故 z2 x y 的取值范围是3,9，故选 C.5已知数列 an是公差不为 0 的等差数列， bn2 an，数列 bn的前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 A， B， C，则( )A A B C B B2 ACC( A B) C B2 D( B A)2 A(C B)解析：选 D an是公差不为 0 的等差数列， bn是以公比不为 1
17、 的等比数列，由等比数列的性质，可得 A， B A， C B 成等比数列，( B A)2 A(C B)，故选 D.6.已知函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是( )解析：选 C 由导函数的图象可知，函数 y f(x)先减再增，可排除选项 A、B，又知f( x)0 的根为正，即 y f(x)的极值点为正，所以可排除 D，故选 C.7正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 1 上，若椭圆的焦点在正方形的内部，x2a2 y2b213则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B(5 12 ， 1) (0， 5 12 )C. D(3 12 ， 1) (0， 3
18、 12 )解析：选 B 设正方形的边长为 2m，椭圆的焦点在正方形的内部， m c，又正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 1 上，x2a2 y2b2 1 e2 ，m2a2 m2b2 c2a2 c2b2 e21 e2即 e43 e210， e2 2，0 e .3 52 (5 12 ) 5 128.已知 ABC 的边 BC 的垂直平分线交 BC 于 Q，交 AC 于 P，若| |1，| |2，则 的值为( )AB AC AP BC A3 B32C. D332解析：选 B 因为 BC 的垂直平分线交 AC 于 P，所以 0，QP BC 所以 ( )AP BC AQ QP BC AQ BC QP B
19、C ( )( )12 AC AB AC AB ( 2 2)12 AC AB .329已知函数 f(x) x|x|，则下列命题错误的是( )A函数 f(sin x)是奇函数，且在 上是减函数(12， 12)B函数 sin(f(x)是奇函数，且在 上是增函数(12， 12)C函数 f(cos x)是偶函数，且在(0,1)上是减函数D函数 cos(f(x)是偶函数，且在(1,0)上是增函数14解析：选 A 函数 f(x) x|x|， f(sin x)sin x|sin x|Error! ycos 2 x 在 上递减，在 上递增，0，12) ( 12， 0) y f(sin x)在 上是增函数，(12
20、， 12)命题“函数 f(sin x)是奇函数，且在 上是减函数”错误，同理：可验证(12， 12)B、C、D 均正确，故选 A.10.如图，在正四面体 ABCD 中， P，Q， R 在棱 AB， AD， AC 上，且AQQ D， ，分别记二面角 A PQ R， A PRQ ， AQ R P 的平面角为APPB CRRA 12 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( )A B C D 解析：选 D 在正四面体 ABCD 中， P，Q， R 在棱 AB， AD， AC 上，且AQQ D， ，可得 为钝角， ， 为锐角，设 P 到平面 ACD 的距离为 h1， P 到APPB CRRA 12QR 的
21、距离为 d1，Q 到平面 ABC 的距离为 h2，Q 到 PR 的距离为 d2，设正四面体的高为 h，可得 h1 h， h2 h， h1 h2，由余弦定理可得 QR PR，由三角形面积相等可得到 d1 d2，13 12所以可以推出 sin sin ，所以 ，所以 ，故选 D.h1d1 h2d2二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)11若复数 z43i，其中 i 是虚数单位，则| z|_.解析：复数 z43i，| z| 5.42 32答案：512若双曲线的焦点在 x 轴上，实轴长为 4，离心率为 ，则该双曲线的标准方程为3_，渐近线方程为_解析：2
22、 a4， a2，又离心率 ， c2 ， b 2 ，双ca 3 3 c2 a2 215曲线的标准方程为 1，渐近线方程为 y x x.x24 y28 ba 2答案： 1 y xx24 y28 213已知直线 l： x y0 与圆 C：( x2) 2 y24 交于 O， A 两点(其中 O 是坐标原3点)，则圆心 C 到直线 l 的距离为_，点 A 的横坐标为_解析：圆 C：( x2) 2 y24， C(2,0)，由点到直线的距离公式可得 C 到直线 l 的距离为 d 1，由Error!得 O(0,0)， A(3， )，点 A 的横坐标为 3.|2 0|2 3答案：1 314.如图，四边形 ABC
23、D 中， ABD、 BCD 分别是以 AD 和 BD 为底边的等腰三角形，其中 AD1， BC4， ADB CDB，则BD_， AC_.解析：设 ADB CDB ，在 ABD 中， BD ，在 CBD 中， BD8cos ，12cos 可得 cos ， BD2，cos 2 2cos 2 1 ，由余弦定理可得14 78AC2 AD2 CD22 ADCDcos 2 24，解得 AC2 .6答案：2 2 615已知 2a4 b2( a， bR)，则 a2 b 的最大值为_解析：由 2a4 b2 a2 2b22 ，得 2a2 b12 0， a2 b0，当且仅当2a 2ba2 b 时等号成立，所以 a2
24、 b 的最大值为 0.答案：016设向量 a，b，且|ab|2|ab|，|a|3，则|b|的最大值是_；最小值是_解析：设|b| t，a，b 的夹角为 ，由|ab|2|ab|，可得|ab| 24|ab| 2,9 t26tcos 4(9 t26 tcos )，化简得 t210 tcos 90，可得t210 t90,1 t9，即|b|的最大值是 9，最小值是 1.答案：9 117已知函数 f(x) a 有六个不同零点，且所有零点之和为 3，|x1x| |m x 1m x|则 a 的取值范围为_解析：根据题意，有 f(x) f(m x)，于是函数 f(x)关于 x m 对称，结合所有的零1216点的
25、平均数为 ，可得 m1，此时问题转化为函数 g(x) 在12 |x 1x| |1 x 11 x|上与直线 y a 有 3 个公共点，此时 g(x)Error!当 0，于是函数 g(x)单调递增，且取值范围是(5，)，当 x11x2 1 1 x 2时，函数 g(x)的导函数 g( x)2 ，考虑到 g( x)是(1，)上的单调1x2 1 1 x 2递增函数，且 +1limg( x)， li g( x)2，于是 g( x)在(1，)上有唯一零点，记为 x0，进而函数 g(x)在(1， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增，在 x x0处取得极小值 n，作出函数 f(x)的图象如图所示接下来问
26、题的关键是判断 n 与 5 的大小关系，因为 g 2 40，解得 x3 或 x0)，焦点为F，直线 l 交抛物线 C 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， D(x0， y0)为 AB 的中点，且| AF| BF|12 x0.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 x1x2 y1y21，求 的最小值x0|AB|解：(1)根据抛物线的定义知| AF| BF| x1 x2 p， x1 x22 x0，| AF| BF|12 x0， p1， y22 x.(2)设直线 l 的方程为 x my b，代入抛物线方程，得 y22 my2 b0， x1x2 y1y21，即 y1y21，y21y24 y
27、1y22，即 y1y22 b2， b1， y1 y22 m， y1y22，| AB| |y1 y2|1 m2 1 m2 y1 y2 2 4y1y22 ，1 m2 m2 2x0 x1 x22 y21 y24 (y1 y2)22 y1y214 m21，19 ，x0|AB| m2 12m2 1m2 2令 t m21， t1，)，则 ，x0|AB| t2tt 1 121 1t 24当且仅当 t1，即 m0 时取等号所以 的最小值为 .x0|AB| 2422(本小题满分 15 分)已知数列 xn满足 x11， xn1 2 3，求证：xn(1)00，xk且 xk1 92 62( 3)0.xn xn xn所
28、以 xn .xnxn3从而 xn1 2 3 xn3.xn23所以 xn1 9 (xn9)，即 9 xn1 0)为增函数，则 a 的取值范围是( )A2 ，) Be 32e， )C(，2 De ( ， 32e解析：选 A 由函数 f(x)(2 x1)e x ax23 a(x0)为增函数，则 f( x)2e x(2 x1)e x2 ax(2 x1)e x2 ax0 在(0，)上恒成立，即 a 在(0，)上恒成立 2x 1 ex2x设 g(x) ， x0，则 g( x) 2x 1 ex2x 2ex 2x 1 ex 2x 2x 1 ex2 2x 2 . 2x2 x 1 ex2x2由 g( x)0，得
29、0 ，12 12所以函数 g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，(0，12) (12， )22则 g(x)max g 2e12，(12) (212 1)e212故 a 的取值范围是2 ，)，选 A.e8设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 P 满足 APB120，x24 y2m则 m 的取值范围是( )A. 12，) B 6，)(0，43 (0， 23C. 12，) D 6，)(0，23 (0， 43解析：选 A 当椭圆的焦点在 x 轴上，则 04，当 P 位于短轴的端点时， APB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 P 满足 APB120，则 APO60，tan
30、 APO tan 60 ，m4 3解得 m12，所以 m 的取值范围是 12，)，故选 A.(0，439函数 y x 的值域为( )x2 2x 3A1 ，) B( ，)2 2C ，) D(1，)3解析：选 D 由 x22 x3( x1) 22，得 xR，当 x1 时，函数 y x 为增函数，x2 2x 3所以 y1 1 .12 21 3 2当 x1 时，由 y x 移项得 y x0，x2 2x 3 x2 2x 3两边平方整理得(2 y2) x y23，从而 y1 且 x .y2 32y 223由 x 1，得 y1 或 10 0y1.y2 32y 2 y2 2y 32y 2所以 10 时，f(t
31、)6 有 2 个解，对应 t x24 x 各有 2 个解，故关于 x 的方程 f(x24 x)6 的不同实根的个数为 4.答案：417.如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 内，三条棱AB， AC， AD 都在平面 的同侧若顶点 B， C 到平面 的距离分别为 ， ，则平面 ABC 与平面 所成锐二面角的余弦值为2 3_解析：如图，作 BB1平面 于 B1， CC1平面 于 C1，连接 BC， B1C1，过点 B 作 BE CC1，垂足为 E.则 AC1 ， AB1 ，32 3 2 6 32 2 2 7B1C1 BE ， 32 2 3 2 2 13 26cos B1AC1 ，6 7 1
32、3 26267 17sin B1AC1 .67 S B1AC1 3.12 6 7 6726S BAC 32 .12 92设平面 ABC 与平面 所成锐二面角为 ，则 cos .S B1AC1S BAC 392 23答案：23三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 14 分)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知cos(A B)cos C sin(A B) sin C.3 3(1)求角 B 的大小；(2)若 b2，求 ABC 面积的最大值解：(1)在 ABC 中， A B C，则 cos(A B)cos( A B) sin(A B)3 sin(A B)，3化简得 2sin Asin B2 sin Acos B，3由于 00， f(x)单调递增；当 x(0，)时， f( x)0，11 x g(x)ln(1 x) bx 在0，)上为增函数， g(x)ln(1 x) bxg(0)0，不能使 g(x)g(0)0，不能使 g(x)0)，x1 x30取 x ，得 n 1k 1 kk2 1 ln(1 1k) nn2 1n 1k 1( kk2 1 1k) 1 1.n 1k 1 1 k2 1 kn 1k 1 1 k 1 k 1n故1 ln n (nN *)nk 1 kk2 1 12
