1、1第四章 图形的相似8 图形的位似第 2 课时 位似变换素材一 新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图 4834 所示，在直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)按要求完成下列问题：(1)将点 O，A，B 的横、纵坐标都乘 2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与OAB 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比(2)如果将点 O，A，B 的横、纵坐标都乘2 呢？图 4834说明与建议 说明：能让学生在活动中举一反三，触类旁通，善于发现，勤于探究，敢于质疑，学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生
2、总结，为新课的学习做好铺垫，有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化建议：首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在课本中描出对应的三角形，然后由老师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结复习导入 我们上节课学习了位似图形，常会看到一些这样的图片：(多媒体出示)图 4835观察以上图形，哪些是位似图形？问题(多媒体出示)：什么是位似图形？如何判断两个图形是否位似？怎样求两个位似图形的相似比？如何将画在纸上的一个图形放大，使放大前后对应线段的比为 12？你有哪些方法？说明与建议 说明：本节课的内容需要大量用到判断两个图形是否位似以及求相似比，2而通过直角坐标系确定一个多边形的位似图形，其实也
3、是将多边形放大或缩小的方法之一通过复习，回顾位似图形的相关知识，为新课的学习做好铺垫建议：复习时间不宜过长，但是对于问题，一定要给学生足够的思考和交流时间学生在此时归纳总结出方法，就会使接下来的学习顺利很多素材二 教材母题挖掘教材母题第 117 页例 2在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(3，3)以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似比是 23.【模型建立】根据位似的性质可以将一个多边形成比例的放大或缩小为使所画的图形更准确、美观，可以把原始图形放在平面直角坐标系中，剩下的任务就
4、是让学生能在平面直角坐标系中正确地找出图形变换后对应点的位置即可【变式变形】1泰州中考 如图 4836，平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为(3，0)，(2，3)，ABO是ABO 关于点 A 的位似图形，且点 O的坐标为(1，0)，则点 B的坐标为_ _(53， 4)图 48362青岛中考 如图 4837，ABO 缩小后变为ABO，其中 A，B 的对应点分别为点 A，B，点 A，B，A，B均在图中的格点上若线段 AB 上有一点 P(m，n)，则点P 在 AB上的对应点 P的坐标为( D)图 4837A( ，n) B(m，n) C(m， ) D( ， )m2 n2 m2 n233
5、绥化中考 如图 4838，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是 1 个单位长度)(1)画出ABC 向下平移 4 个单位长度得到的A 1B1C1，点 C1的坐标是_；(2)以点 B 为位似中心，在网格内画出A 2B2C2，使A 2B2C2与ABC 位似，且相似比为21，点 C2的坐标是_；(3)A 2B2C2的面积是_平方单位图 4838答案：(1)图略 (2，2) (2)图略 (1，0) (3)10素材三 考情考向分析命题角度 1 利用位似的性质求点的坐标利用位似可以成比例的放大或缩小一个图形，在图形上的对应点
6、也会发生相应的变换，所以可以根据位似的性质确定点的坐标例 如图 4839，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，将ABO 扩大到原来的 2 倍，得到ABO.若点 A 的坐标是(1，2)，则点 A的坐标是( C)A(2，4) B(1，2) C(2，4) D(2，1)图 4839命题角度 2 利用位似的性质画图并解决问题利用位似图形的相似比得出对应点横纵坐标的关系是解题关键例 巴中中考 如图 4840，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(2，1)，C(5，2)(1)请画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；(2)将A 1B1C1的三个顶点的横坐
7、标与纵坐标同时乘2，得到对应的点 A2，B 2，C 2，请画出A 2B2C2；(3)求A 1B1C1与A 2B2C2的面积比，即 SA 1B1C1SA 2B2C2_(不写解答过程，直接写出结果)4图 4840答案：(1)略 (2)略 (3)14素材四 教材习题答案P117 随堂练习如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)， A(3，0)，B(4，4)， C(2，3)，画出四边形 OABC 以点 O 为位似中心的位似图形，使它与四边形 OABC的相似比是 21.解：略P118 习题 4.141在平面直角坐标系中， OBC 各顶点的坐标分别是 O(0，0)， B(
8、6，0)， C(8，4)将点 O， B， C 的横坐标、纵坐标都乘 ，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与 OBC 位12似吗？解：位似2如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心，用上一课的方法画出五边形OBCDE 的位似图形，使它与五边形 OBCDE 的相似比为 12.比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？解：略3在平面直角坐标系中，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 位似，位似中心是原点 O，五边形 OBCDE 与五边形 OFGHJ 的相似比是 k，这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离有什么关系？解：这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离的比是 k.4在平面直角坐标
9、系中，四边形 OBCD 与四边形 OEFG 位似，位似中心是原点 O.已知 C与 F 是对应顶点，且 C， F 的坐标分别是 C(3，7)， F(9，21)那么四边形 OBCD 与四边形5OEFG 的相似比是多少？四边形 OEFG 与四边形 OBCD 的相似比呢？解：13；31.素材五 图书增值练习专题一 位似作图 1如图所示，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 与ABC是以点 O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上（1）画出位似中心点 O；（2）直接写出ABC 与ABC的位似比；（3）以位似中心 O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出ABC
10、关于点 O 中心对称的ABC，并直接写出ABC各顶点的坐标2如图，在 45 网格图中，其中每个小正方形边长均为 1，梯形 ABCD 和五边形 EFGHK 的顶点均为小正方形的顶点（1）以 B 为位似中心，在网格图中作四边形 ABCD，使四边形 ABCD和梯形ABCD 位似，且位似比为 2：1；（2）求（1）中四边形 ABCD与五边形 EFGHK 重叠部分的周长（结果保留根号）3如图，在给定的锐角 中，求作一个正方形 ，使 落在 上，ABC DEFG， BC分别落在 边上，要求写出画法 FG， ， CB6专题二 坐标系下的位似变换4如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A （1，2），B （3，1）
11、，C （2，3），以原点 O 为位似中心，在图中第一象限内，将ABC 放大为原来的 2 倍得ABC（不要求写画法）5如图，对 RtOAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到OAB（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设 P（x，y）为OAB 边上任一点，依次写出这几次变换后点 P 对应点的坐标76如图，ABC 中，A、B 两点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1，0）以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点B 的对应点 B的横坐标是 2，求点 B 的横坐标【知识要点】1位似图形的性质：（1）两个图形相似；（2）每
12、组对应点所在的直线交于一点；（3）对应边平行或在同一条直线上；（4）对应点到位似中心的距离之比等于相似比2位似图形的画法：（1）作图时首先连接顶点和位似中心并延长；（2）按照比例确定对应点位置；（3）连接结对应点即可作出相应的位似图形3（1）同向位似图形：若以点 O 为位似中心在 y 轴的右侧将图形放大到 n 倍，则对应点坐标为原坐标的 n 倍（2）反向位似图形：若以点 O 为位似中心在 y 轴的左侧将图形放大到 n 倍，则对应点坐标为原坐标的n 倍【温馨提示】1相似只强调图形的形状相同，与位置无关，而位似是特殊位置的相似图形，具有相似的所有性质2两个位似图形一定相似，但相似图形不一定位似3直
13、角坐标系下的位似变换通常考虑两个方面：（1）位似图形的点的坐标的变化规律；（2）利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形4在画位似图形或求点的坐标时，一定要注意位似图形的位置关系，以防漏解5在画位似图形时，要分清位似比是新图形与原图形的比，还是原图形与新图形的比6在画位似图形时，关键的顶点与位似中心要准确定位【方法技巧】1判定位似，一般应先证明相似位似图形的前提一定是相似图形，且任意两对应点的连线交于一点2利用作位似图形的方法可将一个图形放大或缩小3画位似图形的关键是确定位似中心，位似中心可根据要求选择适当位置，所画图形的位置并不唯一8参考答案：1解：（1）图中点 O 为所求；（
14、2）ABC 与ABC的位似比等于 2：1；（3）ABC为所求 A（6，0），B（3，2），C（4，4）2解：（1）如图所示：四边形 ABCD就是所要求作的梯形；（2）四边形 ABCD与五边形 EFGHK 重叠部分是平行四边形 EFGD，EDFG1，在 RtEDF 中，EDDF1，由勾股定理得 EF ，DGEF ，22四边形 ABCD与五边形 EFGHK 重叠部分的周长为 EDFGDGEF11 22 3如图画法：第一步：画一个有三个顶点落在 两边上的正方形 （如图）；ABC DEFG第二步：连接 并延长交 于点 ；BFF第三步：过 点作 ，垂足为点 ；EE第四步：过 作 交 于点 ；G G第五步
15、：过 作 ，垂足为点 D9四边形 即为所求的正方形DEFG4解：如下图所示5解：（1）如图先把ABO 作位似变换，扩大 2 倍，再作关于 y 轴对称的三角形，然后向右平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位（2）设方格边长为单位 1，则 P（x，y）以 O 为位似中心放大为原来的 2 倍的对应点为（2x，2y），经 y 轴翻折得到的对应点为（2x，2y），再向右平移 4 个单位得到的对应点为（2x4，2y），再向上平移 5 个单位得到的对应点为（2x4，2y5）6解：过点 B、B分别作 BDx 轴于 D，BEx 轴于 E，BDCBEC90ABC 的位似图形是ABC，点 B、C、B在一条直线上，
16、BCDBCE，BCDBCE ED又 ， 又点 B的横坐标是2，点 C 的坐标是（1，0），CB21ED2110CE3，CD OD ，点 B 的横坐标为 23525素材六 数学素养提升相 似 变 换我们知道，两个三角形（边数相等的多边形），如果它们的对应边成比例，且对应角相等，就称它们为相似三角形（相似多边形）两个相似的图形，形状相同，大小可以不等，对应边的比称为相似比特别地，相似比为 1 时，相似形即为全等形两个相似图形，如果对应顶点的连线交于一点 ，则称它们是位似的，点 称为位似中心如下图中的相似三角形 和 ，就是位似的，因为它们的对应顶点的连线 交于一点 是它们的位似中心图形位似时，对应边的比称为位似比也有的书更形象地把位似图形称为中心相似图形，把位似中心称为相似中心设 为平面上的一个定点，把平面上任一点 变成直线 上的一点 （下图），使 （此处 为不等于零的一个常数）的变换，称为位似变换上述定点 叫位似中心，常数 叫位似比有时把 点取在多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，也可以把一个图形放大或缩小，得到位似图形，而且更为简便，如下图所示我们常常看见工程技术人员绘图使用的放缩尺就是使用位似变换的原理设计的使用根据位似换原理制造的“放缩尺”可以很方便地按照指定的比把一个图形放大或缩小11
