1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的 真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分 条件， q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件 p
2、q 且 q pp 是 q的必要不充分条件 p q 且 qpp 是 q 的充要条件 pqp 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p4. 集合与充要条件设集合 A x|x 满足条件 p， B x|x 满足条件 q，则有：(1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件(2)若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件(3)若 A B，则 p 是 q 的充要条件典型例题2考点一 四种命题的关系及其真假判断【例 1】 (1)命题“若 x23 x40，则 x4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若 x4，则 x23
3、 x40”为真命题B.“若 x4，则 x23 x40”为真命题C.“若 x4，则 x23 x40”为假命题D.“若 x4，则 x23 x40”为假命题【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可以排除 A，D；由 x23 x40，得 x4 或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)原命题为“若 z1， z2互为共轭复数，则| z1| z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真、假、真 B.假、假、真C.真、真、假 D.假、假、假【答案】B【解析】 由共轭复数的性质，| z1| z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11， z2i，满足|
4、z1| z2|，但是 z1， z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假.(3) 2017郑州模拟给出以下四个命题：“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2 x q0 有实根”的逆否命题；若 ab 是正整数，则 a， b 都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可3根据“原命题
5、与逆否命题同真同假，逆命题与 否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假3【变式训练 1】(1)2017宁夏银川命题“若 x2 y20， x， yR，则 x y0”的逆否命题是( )A若 x y0， x， yR，则 x2 y20B若 x y0， x， yR，则 x2 y20C若 x0 且 y0， x， yR，则 x2 y20D若 x0 或 y0， x， yR，则 x2 y20【答案】D【解析】 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可由 x y0 知 x0 且 y0，其否定是x0 或 y0.（2）已知：命题“若函数 f(x)e x mx 在(0，)上是
6、增函数，则 m1” ，则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数 f(x)e x mx 在(0，)上是减函数，则 m1” ，是真命题B.逆命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx 在(0 ，)上是增函数” ，是假命题C.逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx 在(0，)上是减函数” ，是真命题D.逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx 在(0，)上不是增函数” ，是真命题【答案】D（3）2018唐山检测给出下列四个命题：“若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“若 ab，则 a2b2”的逆否命题；“若 x3，则 x2
7、 x60”的否命题；其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】 “若 xy1，则 x， y 互为倒数”的逆命题是“若 x， y 互为倒数，则 xy1” ，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形” ，是真命题；“若 a2 b2，则 a b”，取 a0， b1， a2 b2，但 ab，故是假命题；“若 x3，则 x2 x60” ，解不等式 x2 x60 可得2 x3，而 x43 不是不等式的解，故是假命题考点二 充分条件与必要条件的判定【例 2】 （1） “x(x1)0”是“ x1”的_条件【答案】必要不充分条件4【解析】 x(x1)0 x0
8、或 x1；反之，由 x1 可得 x(x1)0.故“ x(x1)0”是“x1”的必要不充分条件(2)2015安徽卷设 p： x3， q：1 x3，则 p 是 q 成立的_条件【答案】必要不充分【解析】因为 p： x3， q：1 x3，所以 qp，但 p q，所以 p 是 q 成立的必要不充分条件/（3)2014浙江卷设四边形 ABCD 的两条对角线分别为 AC， BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC BD”的_条件【答案】充分不必要【解析】若四边形 ABCD 为 菱形，则 AC BD；反之，若 AC BD，则四边形 ABCD 不一定为菱形故“四边形 ABCD 为菱形”是“ AC BD”的
9、充分不必要条件(4) 2016四川高考设 p：实数 x， y 满足 x1 且 y1， q：实数 x， y 满足 x y2，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条 件【答案】A【解析】若 x1 且 y1，则有 x y2 成立，所以 pq；反之由 x y2 不能得到 x1 且 y1.所以 p是 q 的充分不必要条件（5)(2017衡阳一模)“ a1”是“直线 ax y10 与直线( a2) x3 y20 垂直”的( )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B规律方法 充要条件的三种判断方法(1)定义法
10、：根据 pq， qp 进行判断.(2)集合法：根据使 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“ xy1”是“ x1 或 y1”的何种条件，即可转化为判断“ x1 且 y1” 是“ xy1”的何种条件.【变式训练 2】 (1)设 xR，则“| x2|0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 | x2|0 x1 或 x1 或 x0”的充分不必要条件(2) 给定两个命题 p， q.若綈 p 是 q 的必
11、要而不充分条件，则 p 是綈 q 的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 q綈 p 但綈 p q，其逆否命题为 p綈 q 但綈/q p，所以 p 是綈 q 的充分不必要条件/（3）(2016山东卷)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A（4） “a2”是“函数 f(x) x22 ax3 在区间2，)上为增函数”的( )A充分不必要条件
12、 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分 也不必要条件【答案】A【解析】 “ a2”“函数 f(x) x22 ax3 在区间2，)上为增函数” ，但反之不成立（5） (2017天津高考)设 R，则“ 1 或 xa，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是( )A1，) B(，1C3，) D(，3)【答案】A(2)2017江西南昌模拟已知条件 p：| x4|6；条件 q：( x1) 2 m20( m0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是( )A2 1，) B9，)7C19，) D(0，)【答案】B【解析】 条件 p：2 x10，条件 q：1 m x m1，又因
13、为 p 是 q 的充分不必要条件，所以有Error!解得 m9.（3）已知不等式| x m|0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0【答案】D8【解析】根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 故选 D. 22015北京卷设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充
14、分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m D ；当/ 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，所以 m .综上知， “m ”是“ ”的必要而不充分条件3. 2018广东六校联考 “不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B00 D m1【答案】C【解析】不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立，则 14 m .“不等式 x2 x m0 在 R14上恒成 立”的一个必要不充分条件是 m0.4.(2016天津卷)设 x0， yR，则“ xy”是“ x|y|”的( )A.充要条件 B
15、.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 xy x|y|(如 x1， y2).但 x|y|时，能有 xy.“ xy”是“ x|y|”的必要不充分条件.52018江西模拟若集合 A2,4， B1， m2，则“ A B4”是“ m2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 m2 时，有 A B4；若 A B4，则 m24，解得 m2，不能推出 m2.故选B.6(2017天津高考)设 xR，则“2 x0”是“| x1|1”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答
16、案】B 【解析】2 x0， x2.9| x1|1，0 x2.当 x2 时不一定有 x0，当 0 x2 时一定有 x2，“2 x0”是“| x1|1”的必要而不充分条件72018天津模拟设 xR，则“| x2|0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】 A 【解析】| x2|0 x1.由于(1,3)( ，2)(1，)，所以“| x2|0”的充分而不必要条件8.已知函数 f(x)的定义域为 R，则命题 p：“函数 f(x)为偶函数”是命题 q：“ x0R， f(x0) f( x0)”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充
17、分也不必要条件 【答案】A92015重庆卷“ x1”是“log (x2)0”的( )12A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 x1log (x2)0，log (x2)0 x21 x1， x1 是 log (x2)1212120 的充分而不必要条件102016四川卷设 p：实数 x， y 满足( x1) 2( y1) 22， q：实数 x， y 满足Error!则 p 是 q的( )A必要不充分条 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】取 x y0 满足条件 p，但不满足条件 q，反之，对于任意的 x， y 满足条件 q，显然必满足条件 p，所以 p 是 q 的必要不充分条件，故选 A.10
