1、1三角恒等变换与解三角形1tan 70tan 50 tan 70tan 50的值为( )3A. B. C D333 33 3答案 D解析 因为 tan 120 ，tan 70 tan 501 tan 70tan 50 3即 tan 70tan 50 tan 70tan 50 .3 32在 ABC中，若原点到直线 xsin A ysin Bsin C0 的距离为 1，则此三角形为( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定答案 A解析 由已知可得， 1，|sin C|sin2A sin2Bsin 2Csin 2Asin 2B， c2 a2 b2，故 ABC为直角三角形3在 ABC中，
2、角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， acos B bcos A2 ccos C， c ，且 ABC的面积7为 ，则 ABC的周长为( )3 32A1 B27 7C4 D57 7答案 D解析 在 ABC中， acos B bcos A2 ccos C，则 sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即 sin(A B)2sin Ccos C，sin( A B)sin C0，cos C ， C ，12 3由余弦定理可得， a2 b2 c2 ab，即( a b)23 ab c27，又 S absin C ab ， ab6，12 34 3 32( a b)273 ab
3、25， a b5， ABC的周长为 a b c5 .724已知 为锐角，则 2tan 的最小值为( )3tan 2A1 B2 C. D.2 3答案 D方法二 为锐角，sin 0，cos 0，2tan 3tan 2 2sin cos 3cos 2sin 2 4sin2 3cos 22sin cos sin2 3cos22sin cos 2 ，12(sin cos 3cos sin ) 12 sin cos 3cos sin 3当且仅当 ，sin cos 3cos sin 即 时等号成立故选 D.35已知 2sin 1cos ，则 tan 等于( )A 或 0 B. 或 043 43C D.43
4、43答案 A解析 因为 2sin 1cos ，所以 4sin cos 1 2sin 2 ，2 2 (1 2sin22) 2解得 sin 0 或 2cos sin ，即 tan 0 或 2，2 2 2 2又 tan ，2tan21 tan22当 tan 0 时，tan 0；23当 tan 2 时，tan .2 436在锐角 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足( a b)(sin Asin B)( c b)sin C，若 a ，则 b2 c2的取值范围是( )3A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案 C解析 ( a b)(sin Asin B)( c b
5、)sin C，由正弦定理得( a b)(a b)( c b)c，即 b2 c2 a2 bc，cos A ，b2 c2 a22bc bc2bc 12又 A(0，)， A ， B C .3 23又 ABC为锐角三角形，Error! BD，所以 为锐角，从而 cos .1 sin2144因此 sin ADCsin sin cos cos sin ( 4) 4 4 .22( 24 144) 1 74所以 ADC的面积 S ADDCsin ADC12 62 (1 )12 1 74 32 711已知函数 f(x) cos sin cos 2 .3 (32 x) (x 2) (2 x) 12(1)求函数 f
6、(x)的单调递增区间；(2)已知在 ABC中， A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 f(A)1， a2，求 ABC面积的最大值解 (1) f(x) cos sin cos 2 sin xcos xsin 2x3 (32 x) (x 2) (2 x) 12 3 12 sin 2x cos 2xsin .32 12 (2x 6)令 2k 2 x 2 k (kZ)，2 6 2得 k x k (kZ)，6 37所 以 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 6， k 3(2)由(1)知 f(A)sin 1，(2A6)因为 A(0，)，所以 2A ，6 ( 6， 116 )所以 2A ，所以
7、A .6 2 3在 ABC中，由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A，又 a2，则 4 b2 c2 bc2 bc bc bc，即 bc4，当且仅当 b c2 时，等号成立所以 ABC面积的最大值为S ABC bcsin A 4 .12 12 32 312已知函数 f(x) sin x cos x cos 2x ( 0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在 ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时 f(A)的值域解 (1) f(x) sin 2x (cos 2x 1)32 12sin ，(2 x6) 12因为函数 f(x)的最小正周期为 T ，22 2
8、3所以 .32(2)由(1)知 f(x)sin ，(3x6) 12易得 f(A)sin .(3A6) 12因为 sin B，sin A，sin C成等比数列，所以 sin2Asin Bsin C，所以 a2 bc，所以 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc (当且仅当 b c时取等号)2bc bc2bc 128因为 0A，所以 0A ，所以 3A ，3 6 6 56所以 sin 1，12 (3A 6)所以1sin ，(3A6) 12 12所以 f(A)的值域为 .( 1，1213.已知函数 f(x) sin xcos xsin 2x.3(1)求函数 f(x)的单调递增区间
9、；(2) ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，角 A的平分线交 BC于点 D， f(A) ， AD BD2，求 cos C. 32 2解 (1) f(x) sin xcos xsin 2x sin 2x cos 2x sin ，332 12 12 (2x 6) 12令 2k 2 x 2 k ， kZ，2 6 2解得 k x k ， kZ，6 3所以 f(x)的单调递增区间是 (kZ).k 6， k 314.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形 ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂
10、熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息： A， B， C， D， E在同一平面内，且 ACD90， ADC60， ACB15， BCE105， CEB45， DC CE1 km.9(1)求 BC的长；(2)野生动物貂熊的活动区 ABECD的面积约为多少？( 1.732，结果保留两位小数)3解 (1)在 BCE中， CBE180 BCE CEB1801054530，由正弦定理 ，BCsin CEB CEsin CBE得 BC sin CEB sin 45 (km).CEsin CBE 1sin 30 2(2)依题意知，在 Rt ACD中，AC DCtan
11、ADC1tan 60 (km)，3又 sin 105sin(6045) ，6 24sin 15sin(6045) ，6 24所以活动区 ABECD的面积 S S ACD S ABC S BCE ACCD ACCBsin 15 BCCEsin 12 12 12105 1 1 1 1.87 (km 2)，12 3 12 3 2 6 24 12 2 6 24 32故 野生动物貂熊的活动区 ABECD的面积约为 1.87 km2.15.在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别 为 a， b， c，已知 b2 a2 ccos B.(1)求角 C的大小；(2)求 cos Asin 的最大值，并求出取得
12、最大值时角 A， B的值.3 (B3)解 (1) b2 a2 ccos B2 a2 c ，a2 c2 b22ac整理得 a2 b2 c2 ab，即 cos C ，12因为 0C，所以 C .3(2)由(1)知 C ，则 B A ，3 3于是 cos Asin cos Asin( A)3 (B3) 310 cos Asin A2sin ，3 (A3)由 A B，得 0A ， A .23 23 3 3故当 A 时，2sin 取得最大值 2，此时 B .6 (A 3) 215.设函数 f(x)sin xcos xsin 2 (xR)，(x4)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)在锐角 ABC中，
13、角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 f 0， c2，求 ABC面积的最大值.(C2)解 (1)函数 f(x)sin xcos xsin 2 (xR)，(x4)化简可得 f(x) sin 2x sin 2 x .12 121 cos(2x 2) 12令 2k 2 x2 k (kZ)，2 2则 k x k (kZ)，4 4即 f(x)的单调递增区间为 (kZ).k 4， k 4令 2k 2 x2 k (kZ)，2 32则 k x k (kZ)，4 34即 f(x)的单调递减区间为 (kZ).k 4， k 34(2)由 f 0，得 sin C ，(C2) 12又因为 ABC是锐角三角
14、形，所以 C .6由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C，将 c2， C 代入得 4 a2 b2 ab，6 3由基本不等式得 a2 b24 ab2 ab，当且仅当 a b时，等号成立.3即 ab4(2 )，3所以 S ABC absin C 4(2 ) 2 ，12 12 3 12 3即 ABC面积的最大值为 2 .317.在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 m(2 a c，cos C)， n( b，cos B)， m n.(1)求角 B的大小；11(2)若 b1，当 ABC的面积取得最大值时，求 ABC内切圆的半径.(2)由(1)得 B ，又 b1，在 ABC中， b2 a2 c22 accos B，所以 12 a2 c2 ac，即313 ac( a c)2.又( a c)24 ac，所以 13 ac4 ac，即 ac1，当且仅当 a c1 时取等号.从而 S ABC acsin B ac ，当且仅当 a c1 时， S ABC取得最大值 .12 34 34 34设 ABC内切圆的半径为 r，由 S ABC (a b c)r，得 r .12 36
