1、1函数与方程思想、数形结合思想【2019 年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让 学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式
2、恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.122g(x2)， e，故选 C.2例 2.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g( x)，满足 g( x) g(x)1 的解集为_.g xex答案 (，0)例 3.已知 f(t)log 2t， t ，8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式 x2 mx42 m4 x 恒成立，2则 x 的取值范围是_.答案 (，1)(2，)解析 t ，8， f(t) .2 12， 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立， x2.令 g(
3、m) m(x2)( x2) 2， m .12， 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0，12， 3则Error!即Error!解得 x2 或 x0， 设 Sn f(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7) f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.4例 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S42， S63，则 nSn的最小 值为_.答案 9解析 由Error!解得 a12， d1，所以 Sn ，故 nSn .n2 5n2 n3 5n22令 f(x) ，则 f( x) x25 x，x3 5x22 32令 f( x)0，得
4、 x0 或 x ，103 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增.(0，103) (103， )又 n 是正整数，故当 n3 时， nSn取得最小值9.题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决 ；求变量的取值范围和最值问 题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例 9.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点.已知| AB|4 ，| DE|22，则 C 的焦点到准线的距离为(
5、)5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B解析 不妨设抛物线 C： y22 px(p0)，圆的方程设为 x2 y2 r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 )， D ，2 (p2， 5)点 A(x0，2 )在抛物线 y22 px 上，82 px0，2点 A(x0，2 )在圆 x2 y2 r2上， x 8 r2，2 20点 D 在圆 x2 y2 r2上，5 2 r2，(p2， 5) (p2)联立，解得 p4(负值舍去)，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.5例 10.如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲x2a2 y2b
6、2线 C 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60 ，且 3 ，则双曲线 C 的离心率为( )OQ OP A. B. C. D.2 33 72 396 3答案 B解析 因为 PAQ60，| AP| AQ|，所以| AP| AQ| PQ|，设| AQ|2 R，又 3 ，则| OP| |PQ| R.OQ OP 12双曲线 C 的渐近线方程是 y x， A(a，0)，ba所以点 A 到直线 y x 的距离 d ，ba|baa 0|(ba)2 1 2 aba2 b2所以 2(2 R)2 R23 R2，(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2)，在 OQA 中，由余弦定理得， 例 10
7、.设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1F2x2a2 y2b2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C.2 D.2 3 5答案 D解析 如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，6则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，
8、得 4a216 a220 a24 c2，即 e .ca 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_. 答案 ( 2，12)解析 因为(2) 284，所以点 A(2，4)在抛物线 x28 y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ l 于点 Q，过点 A 作 AB l 于点 B，连接 AQ，由抛物线的定义可知， APF 的周长为|PF| PA| AF| PQ| PA| AF| AQ| AF| AB| AF|，当且仅当 P， B， A 三点共线时， APF 的周长取得最小值，即
9、| AB| AF|.因为 A(2，4)，所以不妨设 APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2， y0)，代入 x28 y，得 y0 .12故使 APF 的周长最小的点 P 的坐标为 . ( 2，12)例 12.已知 P 是直线 l：3 x4 y80 上的动点， PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_. 答案 2 2解析 连接 PC，由题意知圆的圆心 C(1，1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线3x4 y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt PAC 的面积 S PAC |PA|AC| |PA|越来越大，从12 12而 S 四边形 PACB也越来越大；7当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的 位置，即CP 垂直于直线 l 时， S 四边形 PACB有唯一的最小值，此时| PC| 3，从而| PA|31 41 8|32 422 ，所以( S 四边形 PACB)min2 |PA|AC|2 .|PC|2 |AC|2 212 2
