1、1函数与方程思想、数形结合思想【2019 年高考考纲解读】数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.【高考题型示例】题型一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒
2、成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.例 1.若 0ln x2ln x1B. 21xD.122g(x2)， e，故选 C.2例 2.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g( x)，满足 g( x) g(x)1 的解集为_.g xex答案 (，0)例 3.已知 f(t)log 2t， t ，8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式 x2 mx42 m4 x 恒成立，2则 x 的取值范围是_. 答案 (，1)(2，)解析 t ，8， f(t) .2 12， 3问题转化为 m(x2)( x2) 20 恒成立，当 x2 时，不等式不成立， x2.令 g(
3、m) m(x2)( x2) 2， m .12， 3问题转化为 g(m)在 上恒大于 0，12， 3则Error!即Error!解得 x2 或 x0， 设 Sn f(n)，则 f(n)为二次函数，又由 f(7) f(17)知， f(n)的图象开口向上，关于直线 n12 对称，故 Sn取最小值时 n 的值为 12.4例 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S42， S63，则 nSn的最小值为_.答案 9题型三、函数与方程思想在解析几何中的应用解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用
4、判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.例 9.以抛物线 C 的顶点为圆心 的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点.已知| AB|4 ，| DE|22，则 C 的焦点到准线的距离为( )5A.2 B.4 C.6 D.8答案 B解析 不妨设抛物线 C： y22 px(p0)，圆的方程设为 x2 y2 r2(r0)，如图，又可设 A(x0，2 )， D ，2 (p2， 5)点 A(x0，2 )在抛物线 y22 px 上，82 px0，2点 A(x0，2 )在圆 x2 y2 r2上， x 8 r2，2 20点 D 在圆 x
5、2 y2 r2上，5 2 r2，(p2， 5) (p2)联立，解得 p4(负值舍去)，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.5例 10.如图，已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲x2a2 y2b2线 C 的一条渐近线交于 P， Q 两点，若 PAQ60，且 3 ，则双曲线 C 的离心率为( )OQ OP A. B. C. D.2 33 72 396 3答案 B解析 因为 PAQ60，| AP| AQ|，所以| AP| AQ| PQ|，设| AQ|2 R，又 3 ，则| OP| |PQ| R.OQ OP 12双曲线 C 的渐近线
6、方程是 y x， A(a，0)，ba所以点 A 到直线 y x 的距离 d ，ba|baa 0|(ba)2 1 2 aba2 b2所以 2(2 R)2 R23 R2，(aba2 b2)即 a2b23 R2(a2 b2)， 在 OQA 中，由余弦定理得，|OA|2| OQ|2| QA|22| OQ|QA|cos 60(3 R)2(2 R)223 R2R 7 R2 a2.12由Error!得Error!所以双曲线 C 的离心率为 e .ca c2a2 a2 b2a2 1 b2a2 1 214R27R2 72例 11.设椭圆中心在坐标原点， A(2，0)， B(0，1)是它的两个顶点，直线 y kx
7、(k0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点.若 6 ，则 k 的值为_.ED DF 答案 或23 386解析 依题意得椭圆的方程为 y21，直线 AB， EF 的方程分别为 x2 y2， y kx(k0).如图，设x24D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x1 .1k 14所以 k 的取值范围为 .(14， )例 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f( x1) f(x1)，当 x1，0时， f(x) x3，则关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的所有实数解之和为_.52， 12答案 7解析 因为函数 f(x)
8、为偶函数，所以 f( x1) f(x1) f(x1)，所以函数 f(x)的周期为 2.又当 x1，0时， f(x) x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y1 f(x)与 y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于 x 的方程 f(x)|cos x|在 上的实数解有 7 个.52， 12不妨设 x1 时，只需求出当直线 y ax 和曲线 yln x 相切时的x4 14 14斜率即可.由于相切时交点只有 1 个，故结合图象知，实数 a 的取值范围是 .14， 1e)9题型五、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之 间的大小关系
9、、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018全国 )设函数 f(x)Error!则满足 f(x1) f(2x)的 x 的取值范围是( )A.(，1 B.(0，)C.(1，0) D.(，0)答案 D解析 方法一 当Error!即 x1 时， f(x1) f(2x)即为 2( x1) 2 2 x，即( x1)2 x，解得 x1.因此不等式的解集为(，1.当Error!时，不等式组无解.当Error!即1 x0 时， f(x1) f(2x)即 12 2 x，解得 x0.因此不等式的解集为(1，0).当Error!即 x0 时， f(x1)1， f(2x)1，不合题意.综上，不等式 f(x1) f(2
10、x)的解集为(，0).故选 D.方法二 f(x)Error!函数 f(x)的图象如图所示.由图可知，当 x10 且 2x0 时，函数 f(x)为减函数，故 f(x1) f(2x)转化为 x12 x.此时 x1.当 2x0 且 x10 时， f(2x)1， f(x1)1，满足 f(x1) f(2x).此时1 x0.10综上，不等式 f(x1) f(2x)的解集为(，1(1，0)(，0).故选 D.例 6.设 A( x， y)|x2( y1) 21， B( x， y)|x y m0，则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是_.答案 1，)2解析 集合 A 是圆 x2( y1) 21 上的点的集合，
11、集合 B 是不等式 x y m0 表示的平面区域内的点的集合，要使 AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线 x y m0 应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有 1，又 m0，所以 m 1，故 m 的取值范围是 1，).|m 1|2 2 2例 7.若不等式| x2 a| x a1 对 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.12答案 ( ，12解析 作出 y1| x2 a|和 y2 x a1 的简图，如图所示.12依题意得Error!故 a .12例 8.已知函数 f(x)Error!若存在两个不相等的实数 x1， x2，使得 f(x1) f(x2)，则实数 a 的
12、取值范围为_.答案 0，)解析 根据题意知 f(x)是一个分段函数，当 x1 时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为 x a；当 x1 时，如图(1)所示，符合题意；当 0 a1 时，如图(2)所示，符合题意；当 a0).若圆 C 上存在点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 B例 10.设双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1F2x2a2 y2b2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C
13、.2 D.2 3 5答案 D解析 如图所示，设以 A1A2为直径的圆与直线 PF2的切点为 Q，连接 OQ，12则 OQ PF2.又 PF1 PF2， O 为 F1F2的中点，所以| PF1|2| OQ|2 a.又| PF2| PF1|2 a，所以| PF2|4 a.在 Rt F1PF2中，由| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，得 4a216 a220 a24 c2，即 e .ca 5例 11.已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_.答案 ( 2，12)解析 因为(2) 284，所以点
14、A(2，4)在抛物线 x28 y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQ l 于点 Q，过点 A 作 AB l 于点 B，连接 AQ，由抛物线的定义可知， APF 的周长为|PF| PA| AF| PQ| PA| AF| AQ| AF| AB| AF|，当且仅当 P， B， A 三点共线时， APF 的周长取得最小值，即| AB| AF|.因为 A(2，4)，所以不妨设 APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2， y0)，代入 x28 y，得 y0 .12故使 APF 的周长最小的点 P 的坐标为 .( 2，12)例 12.已知 P 是直线 l：3 x4 y80 上的动点，
15、PA， PB 是圆 x2 y22 x2 y10 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为_.13答案 2 2解析 连接 PC，由题意知圆的圆心 C(1，1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线3x4 y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt PAC 的面积 S PAC |PA|AC| |PA|越来越大，12 12从而 S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线 l 时， S 四边形 PACB有唯一的最小值，此时| PC| 3，从而| PA|31 41 8|32 422 ，所以( S 四边形 PACB)min2 |PA|AC|2 .|PC|2 |AC|2 212 2
