1、1第 2 讲 不等式选讲1. (2017高考全国卷)已知 a0， b0， a3 b32.证明：(1)(a b)(a5 b5)4；(2)a b2.证明：(1)( a b)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)23 a b 24，3 a b 34所以( a b)38，因此 a b2.2(2017高考全国卷)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2
2、)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40. 当 x1 时，式化为x2 x40，从而 1x . 1 172所以 f(x) g(x)的解集为Error!.(2)当 x1,1时， g(x)2.所以 f(x) g(x)的解集包含1,1等价于当 x 1，1时， f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得1 a1.所以 a 的取值范围为1,13(2018高考全国卷)已知 f(x)| x1| ax1|.(1)当 a1 时，求不等式
3、 f(x)1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x) x 成立，求 a 的取值范围解析：(1)当 a1 时， f(x)| x1| x1|，即 f(x)Error!故不等式 f(x)1 的解集为Error!.2(2)当 x(0,1)时| x1| ax1| x 成立等价于当 x(0,1)时| ax1|1 成立若 a0，则当 x(0,1)时| ax1|1；若 a0，则| ax1|1 的解集为Error!，所以 1，故 0 a2.2a综上， a 的取值范围为(0,21. 已知函数 f(x)| x1| x2|.(1)求函数 f(x)的最小值 k；(2)在(1)的结论下，若正实数 a， b 满足
4、 ，求证： 2.1a 1b k 1a2 2b2解析：(1)因为| x1| x2|( x1)( x2)|3，所以函数 f(x)的最小值为 3.(2)证明：由(1)知， ，1a 1b 3根据柯西不等式得，( )12( )2( 1 )23，1a2 2b2 12 1a 2b 12所以 2.1a2 2b22已知函数 f(x)|2 x a|2 a， aR.(1)若对于任意 xR， f(x)都满足 f(x) f(3 x)，求 a 的值；(2)若存在 xR，使得 f(x)|2 x1| a 成立，求实数 a 的取值范围解析：(1)因为 f(x) f(3 x)， xR，所以 f(x)的图象关于 x 对称32又 f(x)2| x |2 a 的图象关于 x 对称，a2 a2所以 ，所以 a3.a2 32(2)f(x)|2 x1| a 等价于|2 x a|2 x1| a0.设 g(x)|2 x a|2 x1| a，则 g(x)min|(2 x a)(2 x1)| a| a1| a.由题意 g(x)min0，即| a1| a0.当 a1 时， a1 a0， a ，12所以1 a ；123当 a1 时，( a1) a0，10，所以 a1，综上， a .12
