1、1第一节 平面向量的线性运算与基本定理限时规范训练(限时练夯基练提能练)A 级 基础夯实练1(2018吉林白山模拟) AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， (2,4)，AB (1,3)，则 ( )AC AD A(2,4) B(3,7)C(1,1) D(1，1)解析：选 D. (1，1)，BC AC AB (1，1)AD BC 2(2018保定模拟)若向量 a(1,1)， b(1，1)，c(1，2)则 c( )A a b B a b12 32 12 32C. a b D a b32 12 32 12解析：选 B.设 c 1a 2b，则(1,2) 1(1,1) 2(1，1)( 1 2， 1
2、 2)， 1 21， 1 22，解得 1 ， 2 ，12 32所以 c a b.12 323(2018唐山模拟)设 a， b 为不共线的非零向量，2 a3 b， 8 a2 b， 6 a4 b，那么( )AB BC CD A. 与 同向，且| | |AD BC AD BC B. 与 同向，且| | |AD BC AD BC C. 与 反向，且| | |AD BC AD BC D. AD BD 解析：选 A. 2 a3 b(8 a2 b)(6 a4 b)12 a3 b，又AD AB BC CD 28 a2 b，BC .AD 32BC 0， 与 同向，且| | | | |.32 AD BC AD 3
3、2BC BC | | |.AD BC 4(2018江门二模)已知 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，向量m( a， b)与 n(cos A， sin B)平行，则 A( )3A. B 6 3C. D 2 23解析：选 B.因为 mn，所以 asin B bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin 3B sin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A ，由于 0 A，所以 A .3 3 35(2018合肥模拟)已知 a， b 是不共线的两个向量，向量 a b， a b ( ， R)，则 A， B， C 三点共线的充要条件为( )AB AC A 2
4、B 1C 1 D 1解析：选 C.向量 a 和 b 不共线， 和 为非零向量，则 A， B， C 三点共线的充要AB AC 条件为存在 k(k0)，使得 k ，即 a b k(a b ) ka kb ， a 和 b 不共线，AB AC k，1 k ， 1，故选 C.6(2018九江模拟)如图，在 66 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a， b，c 满足 c xa yb(x， yR)，则 x y( )A0 B1C5 D5135解析：选 D.建立如图所示平面直角坐标系，设小方格的边长为 1.3则向量 a(1,2)， b(2，1)，c(3,4)，c xa yb，即Error! 解得Error!
5、 x y .115 25 1357(2018河北保定质检)设 M 是 ABC 所在平面上的一点，且 0 ,， DMB 32MA 32MC 是 AC 的中点，则 的值为( )|MD |BM |A. B13 12C1 D2解析：选 A. D 是 AC 的中点， 0 ,.又DA DC 0 ,， ( ) 2 ，即 3 ，故 ， MB 32MA 32MC MB 32MA MC 32 MD MB DM MD 13BM |MD |BM |.故选 A.138(2018常州八校联考)在梯形 ABCD 中， AB CD， AB2 CD， M， N 分别为 CD， BC 的中点，若 ，则 等于_AB AM AN 解
6、析：因为 ( )2 2 ，所以AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA AN 14AB AM ， ， .AB 85AN 45AM 45 85所以 .45答案：4549(2018银川模拟)已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 a，BC b，给出下列命题： a b； a b； a b； 0 ,.其CA AD 12 BE 12 CF 12 12 AD BE CF 中正确命题的个数为_解析： a， b， a b，故错误； a b，故BC CA AD 12CB AC 12 BE BC 12CA 12正确； ( ) ( a b) a b，故正
7、确；CF 12CB CA 12 12 12 b a a b b a0 ,.AD BE CF 12 12 12 12正确的命题为.答案：310(2018济南模拟)已知非零向量 e1，e 2， a， b 满足 a2e 1e 2， b ke1e 2.给出以下结论：若 e1与 e2不共线， a 与 b 共线，则 k2；若 e1与 e2不共线， a 与 b 共线，则 k2；存在实数 k，使得 a 与 b 不共线，e 1与 e2共线；不存在实数 k，使得 a 与 b 不共线，e 1与 e2共线其中正确的是_(只填序号)解析：若 a 与 b 共线，即 a b ，即 2e1e 2 k e1 e2，而 e1与
8、e2不共线，所以Error! 解得 k2.故正确，不正确若 e1与 e2共线，则 e2 e1，有Error!因为 e1，e 2， a， b 为非零向量，所以 2 且 k，所以 a b，即12 1k a b，这时 a 与 b 共线，所以不存在实数 k 满足题意故不正确，正确2 k 综上，正确的结论为.答案：B 级 能力提升练11(2018河南中原名校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB2 AD2 DC， E 为 BC 边上一点， 3 ， F 为 AE 的中点，则 ( )BC EC BF A. B 23AB 13AD 13AB 23AD 5C D 23AB 13AD 13AB 23AD 解析
9、：选 C.解法一：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG， CG，则易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以 ，所以BC GD AD AG AD 12AB ，于是 AE AB BE AB 23BC AB 23(AD 12AB ) 23AB 23AD BF AF .AB 12AE AB 1223AB 23AD AB 23AB 13AD 解法二： ( ) BF 12BA BE 12AB 12 23BC ( ) ( )12AB 13AC AB 56AB 13DC DA .56AB 13(12AB AD ) 23AB 13AD 12(2018烟台质检)在 ABC 中， N 是 AC 边上一点，且 ，
10、P 是 BN 上的一点，AN 12NC 若 m ，则实数 m 的值为( )AP AB 29AC A. B19 13C1 D3解析：选 B.如图，因为 ， P 是 上一点，AN 12NC BN 所以 ， m m .AN 13AC AP AB 29AC AB 23AN 因为 B， P， N 三点共线，所以 m 1，所以 m .23 1313(2018山西四校联考)在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 3 ，点BC CD O 在线段 CD 上(与点 C， D 不重合)，若 x (1 x) ，则 x 的取值范围是( )AO AB AC A. B(0，12) (0， 13)C. D(12
11、， 0) ( 13， 0)6解析：选 D.依题意，设 ，其中 1 ，则有BO BC 43 ( )(1 ) .AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC 又 x (1 x) ，且 ， 不共线，于是有 x(1 ) ，即 x 的取值AO AB AC AB AC ( 13， 0)范围是 .(13， 0)14(2018洛阳模拟)已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， O 是 ABC 的重心，动点P 满足 2 ，则点 P 一定为 ABC 的( )OP 1312OA 12OB OC A AB 边中线的中点B AB 边中线的三等分点(非重心)C重心D AB 边的中点解析：选 B.如图设
12、AB 的中点为 M，则 ，所以12OA 12OB OM ( 2 )，即 3 2 2 2 2 .又OP 13OM OC OP OM OC OP OM OC OP MP PC 与 有公共点 P，所以 P， M， C 三点共线，且 P 是 CM 上靠近 C 点MP PC 的一个三等分点15(2017江苏卷)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别OA OB OC 为 1,1， ， 与 的夹角为 ，且 tan 7， 与 的夹角为 45.若2 OA OC OB OC m n (m， nR)，则 m n_.OC OA OB 解析：由 tan 7，得 tan .( 4) tan 11 tan 43以 O
13、 为原点， OA 方向为 x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则 A 点坐标为(1,0)由 tan ， 的模为 1，可得 B .由 tan 7， 的模为 ，可得( 4) 43 OB ( 35， 45) OC 2C .(15， 75)由 m n ，代入 A、 B、 C 点坐标可得，OC OA OB Error!解得 Error!7 m n3.答案：3C 级 素养加强练16(2018天水模拟)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 O 是斜边 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB、 AC 于不同的两点 M、 N，若 m ， n (m0， n0)，则AB AM AC AN mn 的最大值为_解析：以 A 为坐标原点，线段 AC、 AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 ABC 的腰长为 2，则B(0,2)， C(2,0)， O(1,1) m ， n ，AB AM AC AN M ， N ，(0，2m) (2n， 0)直线 MN 的方程为 1，nx2 my2直线 MN 过点 O(1,1)， 1，即 m n2，m2 n2 mn 1，当且仅当 m n1 时取等号， m n 24 mn 的最大值为 1.答案：11
