1、12019 届高三年级第二次模拟考试数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1. 已知集合 Ax|10)的一x24 y2b2个交点若抛物线的焦点为 F，且 FA5，则双曲线的渐近线方程为_8. 若函数 f(x)2sin(x)(0，0f(x)的解集为_11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，0)，B(5，0)若在圆 M：(x4)2(ym) 24 上存在唯一一点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为_212. 已知 AD 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，点 P
2、 在 DA 的延长线上，且满足( ) 4 .若 AD ，则 的值为_ PB PC AD 2 2 PB PC 13. 已知函数 f(x) 设 g(x)kx1，且函数 yf(x)g(x)的|x 3|， x 0，x3 12x 3， x0.)图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围是_14. 在ABC 中，若 sin C2cos Acos B，则 cos2Acos 2B 的最大值为_二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)设向量 a(cos ，sin )， b(cos ，sin )，其中 0，0b0)的离心率为 ，且椭圆
3、C 短x2a2 y2b2 22轴的一个顶点到一个焦点的距离等于 .2(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设经过点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q(m，0)若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QAQB，求实数 m 的取值范围；设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为FAB 的外心，求实数 m 的值519. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)ln x ，a0.2x 2x 1 2a(1) 当 a2 时，求函数 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2) 若对任意 x1，)，不等式 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数 f(x)存在极大
4、值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围620. (本小题满分 16 分)已知数列a n各项均为正数，且对任意 nN *，都有(a 1a2an)2a a .n 11 n 1(1) 若 a1，2a 2，3a 3成等差数列，求 的值；a2a1(2) 求证：数列a n为等比数列； 若对任意 nN *，都有 a1a 2a n2 n1，求数列a n的公比 q 的取值范围72019 届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤A. 选修 4-2：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 A ， B ， AB .2ba3 1 10 1 2141(1) 求 a，b 的值；(2) 求 A 的逆矩阵 A1 .B. 选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，曲线 C 的参x t，y 3t 2)数方程为 ( 为参数)，P 是曲线 C 上的任意一点求点 P 到直线 l 的距离的x cos ，y 3sin )最大值C. 选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10 分)解不等式：|2x1|x2.8【必做题】第 22 题、第 23 题
6、，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 B 集中，设 C 是其中的一个交叉路口点(1) 求甲经过点 C 的概率；(2) 设这 4 名游客中恰有 X 名游客都是经过点 C，求随机变量 X 的概率分布和数学期望23. (本小题满分 10 分)平面上有 2n(n3，nN *)个点，
7、将每一个点染上红色或蓝色从这 2n 个点中，任取3 个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为 T.(1) 若 n3，求 T 的最小值；(2) 若 n4，求证：T2C .3n2019 届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城)数学参考答案1.x|10，所以 1.(6 分)(2) 由(1)知 a(cos，sin)由 ab ，得 coscossinsin ，45 45即 cos() .(8 分)45因为 00，解得 0，所以 12a0 在区间(1，)上恒成立，所以函数 f(x)在区间(1，)上单调递增当 x1，)时，f(x)f(1)0，所以 a1 满足条件(6 分)当 4a24a12a.a a2
8、列表如下：所以函数 f(x)存在极大值 f(x1)和极小值 f(x2)，(14 分)此时 f(x1)f(x 2)lnx 1 lnx 2 ln 2x1 2x1 1 2a 2x2 2x2 1 2a x1x2.4a（ x1 x2）（ x1 1 2a） （ x2 1 2a）14因为 00，x1x2所以 f(x1)f(x 2)2 时，由 a1a 2a n2 n1，得 2 n1，a1（ 1 qn）1 q整理得 a1qn(q1)2 na 1q1.(14 分)因为 q2，01，因此 n2 不满足条件综上，公比 q 的取值范围为(0，2(16 分)21.A. (1) 因为 A ， B ， AB ，2ba3 1
9、10 1 2141所以 即 (4 分)2 b 1，a 4，a 3 1， ) b 1，a 4.)(2) 因为| A|23142，(6 分)所以 A1 .(10 分)32 12 42 22 32 12 2 1B.直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，化为普通方程为 xy20.(2 分)x t，y 3t 2) 3设点 P(cos， sin)，3则点 P 到直线 l 的距离 d ，(6 分)|3cos 3sin 2|（ 3） 2 1 | 6cos( 4) 2|2取 时，cos 1，此时 d 取最大值， 4 ( 4)所以距离 d 的最大值为 .(10 分)6 22C.当 x 时，由 2x1x2，得 x
10、3.(4 分)12当 xC .kn 1 kn证明：因为 C C C 0，所以 C C .kn 1 kn k 1n kn 1 kn设这 2n 个点中含有 p(pN，p2n)个染红色的点，当 p0，1，2时，TC C 32n p 32n 2（ 2n 2） （ 2n 3） （ 2n 4）64 .（ n 1） （ n 2） （ 2n 3）6因为 n4，所以 2n3n，所以 T4 4C 2C .(5 分)n（ n 1） （ n 2）6 3n 3n当 p2n2，2n1，2n时，TC C ，3p 32n 2同理可得 T2C .(6 分)3n当 3p2n3 时，TC C ，3p 32n p设 f(p)C C ，3p2n3，3p 32n p当 3p2n4 时，f(p1)f(p)C C C C C C ，3p 1 32n p 1 3p 32n p 2p 22n p 1显然 p2np1，17当 p2np1 即 np2n4 时，f(p1)f(p)，当 pf(4)f(n)；因此 f(p)f(n)2C ，即 T2C .3n 3n综上，当 n4 时，T2C .(10 分)3n
