1、- 1 -十堰市 2019 年高三年级元月调研考试理科数学试题第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求函数定义域得集合 A，求函数值域得集合 B，取交集即可得答案【详解】由函数 y ln（9 x2） ，得 9 x20，即（ x+3） （ x3）0，解得：3 x3，所以集合 A（3，3） ，由函数 0，得集合 B（0，+） ，则 AB 故选： D【点睛】本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题.2.设复数 满足 ，则 （ ）A. 5 B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分
2、析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可.【详解】由 ，得 ，则 .故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题.- 2 -3.抛物线 的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将方程转为标准方程，即可得到准线方程 y=- .【详解】由 ，得 ，所以准线方程为 ,故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及简单的几何性质，属于简单题.4.在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求得 a,再利用正弦定理即得结果.【详解】由余弦定理： ，得 ，由
3、正弦定理： .故选：A【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.5.执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 ， 的值分别为（ ）- 3 -A. 3，5 B. 4，7 C. 5，9 D. 6，11【答案】C【解析】执行第一次循环后， ， ，执行第二次循环后， ，执行第三次循环后， ， ，执行第四次循环后，此时 ，不再执行循环体，故选 C.点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.6.某四棱锥的三视图如图所示，已知该四棱锥的体积为 40，则其最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图
4、可知，该几何体是底面为矩形的四棱锥，利用线面角的定义求解即可【详解】由三视图可知，该四棱锥的底面是长为 6，宽为 5 的矩形，设高为 ，由 ，解得 ，由图可知最长侧棱为 PC,因为 PA 垂直于底面 ABCD,则 PC 在底面的射影为 AC，则最长侧 PC 与底面所成角为PCA,- 4 -其 tanPCA=故选：A【点睛】本题考查几何体的三视图的运用和直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力7.把函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变） ，再将图象向左平移 个单位长度，则所得图象（ ）A. 在 上单调递增 B. 关于 对称C. 最小正周期为 D. 关于 轴对称【答案】
5、A【解析】【分析】利用三角函数的平移伸缩变换得到新的函数，然后利用正弦函数的单调性、周期性、以及对称性，检验即可得到答案【详解】将 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）.得到函数 的图象，再将图象向左平移 个单位长度，得到函数 ，即 的图象.显然函数是非奇非偶函数，最小正周期为 ，排除选项 C,D；令 ，得 ，不关于 对称，排除选项 B；令 ，得 ，所得函数在 上单调递增，故 正确.故选：A【点睛】本题考查函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，考查正弦函数的单调性、周期- 5 -性、以及对称性，属于基础题8.已知 ， 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
6、【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可【详解】由线性约束条件作出可行域如图，其中 表示可行域内的点 与点 连线的斜率的倒数， A（2，2） ； B（1，0） ； kAD ,kDB - ，可知点 与点 连线的斜率的范围是 ，所以 的取值范围是 .故选： D【点睛】线性规划中的最值问题主要涉及三个类型：1.分式形式 ：与斜率有关的最值问题：表示定点 P 与可行域内的动点 M(x,y)连线的斜率.2. 一次形式 z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题, 特别注意斜率范围及截距符号.3. 与距离有关的最值问题 :表示定点 P 到可行域内的动点 N(x,y
7、)的距离.9.已知 的面积为 6，若在 内部随机取一个点 ，则使 的面积大于 2 的概率为- 6 -（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何概型的公式转化为对应区域面积比值进行计算即可【详解】如图， ， ， ，当点 在线段 DE 上时 的面积等于 2，若使 的面积大于 2，则点 P 应在 内部，易知 ，则使 的面积大于 2 的概率为 .故选：C.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，根据条件转化为对应区域面积是解决本题的关键10.已知等差数列 的公差为-2，前 项和为 ，若 ， ， 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 ，则 的最大值为（ ）A. 5 B. 11 C
8、. 20 D. 25【答案】D【解析】【分析】由公差 d=-2 可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前 n 项和，从而得到最值.【详解】等差数列 的公差为-2，可知数列单调递减，则 ， ， 中 最大， 最小，又 ， ， 为三角形的三边长，且最大内角为 ，由余弦定理得 ，设首项为 ，- 7 -即 得 ，所以 或 ，又 即 , 舍去， ，d=-2前 项和 .故 的最大值为 .故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查求前 n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.11.在直角三角形 中， ， ， ， 在 斜边 的中线 上，则的最大值为（ ）
9、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量的坐标运算转为求二次函数的最值.【详解】以 为坐标原点，以 ， 方向分别为 轴， 轴正方向建立平面直角坐标系，则 ， ，BC 中点 D( 则直线 AD 方程为 y=设 ,所以 ， ， ， .则当 x= 时 的最大值为 . 故选：B【点睛】本题考查数量积在平面几何中的应用，建立坐标系是常用的方法，属于基础题.- 8 -12.已知函数 ，若方程 恰有 5 个不同的根，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当 x0 时，对函数求导判断单调性求出最值，即可画出函数的图像，设 t
10、 f（ x） ，则 ，结合图像分析即可得到答案.【详解】当 时， ， ，当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，所以 ，当 时， 的图象恒过点 ，当 ， 时， ，当 ， 时， ，作出大致图象如图所示.方程 有 5 个不同的根，即方程 有五个解，设 ，则 .结合图象可知，当 时，方程 有三个根 ， ，（ ， ） ，于是 有一个解， 有一个解， 有三个解，共有 5 个解，而当 时，结合图象可知，方程 不可能有 5 个解.综上所述：方程 在 时恰有 5 个不同的根.- 9 -故选：B【点睛】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属中档题第卷二、填
11、空题（将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为_【答案】-1080【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 可求 x2的系数【详解】 的展开式的通项公式为 ，由 5 r2 解得 r3，则 的系数为 .故答案为：-1080【点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.14.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】利用余弦的两角差公式将 展开然后利用辅助角公式计算即可得到答案.【详解】 ， .故答案为：【点睛】本题考查两角和差公式以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， 平
12、面 ， ， ， ，则球 的表面积为_【答案】- 10 -【解析】【分析】作出直观图，根据球的性质即可得 PC 为球 O 的直径，利用勾股定理计算 PC，从而可得出球的表面积【详解】 平面 ，则 PA BC， 且 ,则 平面 ，所以 PA AC，又 , PC 为三棱锥 外接球的直径, ， PC 的中点为球 O 的球心，球 O 的半径 r= ，球 O 的面积 S=4r 2=8 .故答案为：8 .【点睛】本题考查三棱锥 P ABC 的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥 P ABC 的外接球的球心与半径求外接球半径的常见方法有：若三条棱两两垂直则用 （a,b,c 为三棱的长） ；若 面 ABC（S
13、A=a） ，则（r 为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.已知圆 ，点 ，过点 的动直线与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，则 面积的最大值为_【答案】12【解析】【分析】根据题意可得当 N 到直线 OM 的距离最大时， OMN 的面积最大，根据点到直线的距离公式，面积公式即可求出最值.- 11 -【详解】由题可知 ，所以点 在以线段 为直径的圆上， 的边 ，故当 到直线 的距离最大时， 的面积最大，以线段 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，所以 到直线 的距离的最大值为 ，故 的面积的最
14、大值为 .故答案为：12【点睛】本题综合考查圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查推理能力和计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2） 【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）由（1）可得数列 ，由裂项相消求和化简计算即可得到所求和【详解】 （1）设数列 的公差为 .因为 ，所以 ，解得 ，所以 .- 12 -（
15、2） .所以 .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题18.某工厂在两个车间 ， 内选取了 12 个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过 19 的为合格产品.（1）从选取的产品中在两个车间分别随机抽取 2 个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率；（2）若从车间 ， 选取的产品中随机抽取 2 个产品，用 表示车间 内产品的个数，求 的分布列与数学期望.【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率 （2）写出 X 的所有可能取值并求出取每
16、个值时对应的概率，得到分布列，然后求解期望即可【详解】 （1）由茎叶图知，车间 内合格的产品数为 4，车间 内合格的产品数为 2，则所求概率 .（2）由题意知， 的所有可能取值为 0，1，2.则 ， ， ，所以 的分布列为0 1 2- 13 -所以 .【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力19.如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ， 分别为线段 ，上的点，且 ， .（1）证明： ；（2）若 ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）证明 BC平面 SAC，即可推出 SC平面 ABC，从而得到 MN平面 SCM，即可
17、证明MN SM （2）以 C 为原点，以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面 SAM 和平面 SMN 的法向量，利用空间向量的夹角的余弦，求解二面角A SM N 的余弦值【详解】 （1）证明：由 ， ，且 ，则 平面 ，平面 ，故 ，又 ， ，则 平面 ，平面 ，故 .因为 ， ，所以 ，故 .又因为 ，所以 平面 .- 14 -又 平面 ，则 .（2）解：由（1）知， ， ， 两两相互垂直，如图是以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， .设平面 的法向量为 ，则，令 ，得 .设平面 的法向量为 ，则
18、 ，令 ，则 ， ，故 .所以 ，由图可知二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20.设 是圆 上的任意一点， 是过点 且与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足 .当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；- 15 -（2）已知直线 与曲线 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过定点 .【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】（1）点 A 在圆 x2+y216 上运动，引起点 Q 的运动，可由 4|
19、BQ|3| BA|，得到点 A 和点 Q 坐标之间的关系式，由点 A 的坐标满足圆的方程得到点 Q 坐标满足的方程；（2）设 M（ x1， y1） ，N（ x2， y2） ，则 M（ x1， y1） ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出直线M N 的方程，即可判断出所过的定点.【详解】 （1）设 ， ，因为 ， 在直线 上，所以 ， .因为点 在圆 上运动，所以 .将式代入式即得曲线 的方程为 .（2）设 ， ，则 ，联立 ，得 ，所以 ， .因为直线 的斜率 ，所以为 .令 ，得 ，所以直线 过定点 .- 16 -【点睛】本题考查利用相关点法求曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关
20、系的应用以及直线恒过定点问题的处理，考查计算能力21.设函数 ， .（1）讨论函数 的单调性，并指出其单调区间；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）对函数求导，对 a 进行讨论：当 a0 和 a0 时，研究函数的单调性.（2）原不等式等价于 在 上恒成立，构造函数 ，由 m(x)的单调性即即可得到 a 的范围.【详解】 （1）由 ，得 ， .当 时， ， ， 在 上单调递减，当 时， ，当 时， ；当 时， .故 在 上单调递减，在 上单调递增，故当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）原不等式等价于 在
21、上恒成立，- 17 -即 在 上恒成立，令 ，只需 在 上恒成立即可.又因为 ，所以 在 处必大于等于 0.令 ，由 ，可得 .当 时， .因为 ，所以 ，又 ，故 在 时恒大于 0，所以当 时， 在 上单调递增，所以 ，故 也在 上单调递增，所以 ，即 在 上恒大于 0.综上， .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值和利用导数解决不等式恒成立问题，考查推理能力与计算能力，属于难题22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为（ 为参数）. （1）求曲线 以及直线 的直角坐标方程；（2）直线 与曲线 相交于 ， 两点，
22、求 .【答案】 （1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）利用参数方程与直角坐标方程之间的关系转化即可；（2）将直线 的参数方程化为标准参数方程，然后代入椭圆的直角坐标方程中，得到关于 的一元二次方程， ，求出- 18 -即可。【详解】 （1）曲线 的直角坐标方程为 ，直线 的直角坐标方程为 .（2）将 （ 为参数）化为标准参数方程 （ 为参数） ，然后代入 ，得 .所以 ， .【点睛】本题考查了直线与椭圆的参数方程，以及直线参数方程中 t 的几何意义，属于中档题。23.选修 4-5：不等式选讲：设函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求出不等式的解集；（2）先求出 的最小值，令，求出 的范围即可。【详解】 （1）因为 ，所以 等价于 或 或 ，解得 或 或 ，所以不等式 的解集为 .（2） 对 恒成立，即 即可，- 19 -因为 ，所以 ，即 ，解得 .【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，属于中档题。- 20 -
