1、,知识点 用尺规作三角形的类型 1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.如图4-4-1,已知线段c,b和 ,求作ABC,使AB=c,AC=b,A=.图4-4-1 作法:如图4-4-2,(1)作DAE=; (2)分别在射线AD,AE上截取AB=c,AC=b; (3)连接BC.ABC就是所求作的三角形.,图4-4-2 注意:(1)求作三角形的过程用到了最基本的尺规作图,作一个角等于已知 角.(2)作一个三角形的步骤:已知;求作;作图;作法. (3)如果已知三角形的两边及其一边的 对角,则不能确定唯一的三角形.如图4-4-3, ABC和ABD中,B=B,AB=AB,AC=AD, 但是ABC与ABD
2、并不全等.,图4-4-3,2.已知三角形的两角及其夹边,求作三角形.如图4-4-4,已知,和线 段c,求作ABC,使A=,B=,AB=c.图4-4-4 作法:如图4-4-5所示,(1)作DAE=;(2)在射线AE上截取AB=c;(3)以 点B为顶点在AB的同侧作ABF=,BF交AD于点C,则ABC就是所 求作的三角形.,图4-4-5 注意:已知三角形的两角及其中一角的对边,也可以作出一个三角形,可 以先求出三角形的第三个角,从而转化为已知三角形的两角及其夹边求 作三角形.,3.已知三角形的三条边,求作三角形.如图4-4-6,已知线段a,b,c,求作 ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.图4
3、-4-6 作法:如图4-4-7所示,(1)作射线AM,并在AM上截取线段AB=c;(2)以点A 为圆心,b为半径作弧;(3)以点B为圆心,a为半径作弧,交前面的弧于点C, 连接AC,BC,则ABC就是所求作的三角形.,图4-4-7,例 小明教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业 本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出 来吗?图4-4-8,分析 已知两角及其夹边,可依据ASA求作三角形.,解析 作法:(1)作线段AB=AB;(2)以点A为顶点作BAM=1;(3)以点 B为顶点作ABN=2,BN与AM交于点C,则ABC就是所求作的三 角形.,题型 判断
4、能否作出三角形 作一个三角形等于已知三角形的依据有SSS,ASA,AAS,SAS,由这四种 依据完成即可. 例 利用尺规作图不能唯一作出三角形的是 ( ) A.已知三边 B.已知两边及夹角 C.已知两角及夹边 D.已知三个角,解析 三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.三个角都分别相等不能作为三角形全等的判定方法,也就不能确定三角形.,答案 D,点拨 看所给的条件是否符合三角形全等的判定方法中的某一种.,知识点 用尺规作三角形的类型 1.利用下列条件进行尺规作图,画出的三角形不唯一的是 ( ) A.已知三边 B.已知三个角 C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角,答案
5、 B 三个角相等,没有一边固定时,三角形大小不唯一.,2.如图4-4-1,在ABC中,ACB=80,ABC=60.按以下步骤作图:以 点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;分别以点 E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;作射线AG交 BC于点D.则ADB的度数为 .图4-4-1,答案 100,解析 根据已知条件的作图步骤知,AG是CAB的平分线,由ACB=80,ABC=60可得CAB=40,所以BAD=20.在ADB中,B=60, BAD=20,所以ADB=100.,3.已知线段a,b和m,如图4-4-2,求作ABC,使BC=2a,AC=b,BC边上
6、的 中线AD=m.盈盈想出了一种作法,根据图4-4-2中的作图痕迹,你能想 出她是怎样作出来的吗?把她的具体作法写下来吧!图4-4-2,解析 作法:(1)作线段CD=a,延长CD至B,使DB=CD;(2)以C为圆心,b为 半径画弧;(3)以D为圆心,m为半径画弧,两弧交于点A;(4)连接AC,AB,AD. ABC就是所求作的三角形.,4.如图4-4-3,ABC中,a=5 cm,b=3 cm,c=4 cm,B=30,C=40.选择适 当数据,作出与ABC全等的三角形,写出所有的情况,看共有几种作法.图4-4-3,解析 共6种作法: 4 cm,3 cm,5 cm;4 cm,5 cm,30;3 cm
7、,5 cm,40;30,5 cm,40; 30,40,3 cm;30,40,4 cm.,1.下列各条件中,能作出唯一的ABC的是 ( ) A.AB=4,BC=5,AC=10 B.AB=5,BC=4,A=40 C.A=90,AB=10 D.A=60,B=50,AB=5,答案 D 4+510,即AB+BCAC,A选项不满足三角形的三边关系, 作不出三角形.A是边BC的对角,“边边角”不能确定唯一的三角形, 故B选项不满足题意.满足选项C中条件的三角形有无数多个,不满足 题意.D选项中,“角边角”能作出唯一三角形,满足题意,故选D.,2.已知线段a,b和,求作ABC,使BC=a,AC=b,ACB=,
8、则作法的 合理顺序为 .(填序号即可) 在射线CM上截取CA=b;作一条线段BC,使BC=a;以C为顶点,CB 为一边,作BCM=;连接AB,ABC就是所要求作的三角形.,答案 ,解析 此类题目要看清已知和求作,可画草图分析作图顺序.,1.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图4-4-4所示,能得出AOB= AOB的依据是 ( )图4-4-4 A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS,答案 B 根据图形可知OC=OC,OD=OD,CD=CD,所以能得出AO B=AOB的依据是SSS.,2.如图4-4-5所示,已知线段a,c和,求作:ABC,使BC=a,AB=c,ABC= ,根据作图在下面空
9、格填上适当的文字或字母.图4-4-5 (1)如图4-4-6所示,作MBN= ; (2)如图4-4-6所示,在射线BM上截取BC= ,在射线BN上截取 BA= ; (3)连接 ,如图4-4-6所示,ABC就是所求作的三角形.,图4-4-6,答案 (1) (2)a;c (3)AC,3.如图4-4-7,在ABC中,C=90,CAB=50,按以下步骤作图:图4-4-7 以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F; 分别以点E,F为圆心,大于 EF长为半径画弧,两弧相交于点G; 作射线AG,交BC边于点D. 则ADC的度数为 .,答案 65,解析 根据作图方法可得AG是CAB的平分线
10、,因为CAB=50,所以 CAD= CAB=25.因为C=90,所以CDA=90-25=65.,1.如图所示,ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置 不同的三角形,使所作的三角形与ABC全等,这样的三角形最多可以 作出 个.,答案 4,解析 可以使B、D为对应顶点,C、E为对应顶点,这样可以分别在DE 的上下方各作一个三角形,同理,使B、E为对应顶点,C、D为对应顶点, 也可以作2个三角形,故一共可作4个满足条件的三角形.,2.如图,已知线段a及O,只用直尺和圆规,求作ABC,使BC=a,B= O,C=2B.(保留作图痕迹,不写作法),解析 如图所示,ABC即为所求.,选择
11、题 1.(2016山西农大附中期末,9,)利用基本作图法,不能作出唯一三 角形的是 ( ) A.已知两边及其夹角 B.已知两角及夹边 C.已知两边及一边的对角 D.已知三边,答案 C,2.(2018河北秦皇岛抚宁期末,6,)根据已知条件,能画出唯一 ABC的是 ( ) A.AC=4,AB=5,BC=10 B.AC=4,AB=5,B=60 C.A=50,B=60,AB=2 D.C=90,AB=5,答案 C A.AC+AB=4+5=910=BC,三边不能组成三角形,A不正确;B. AC=4,AB=5,B=60,由SSA不能得出两三角形全等,AC=4,AB=5, B=60不能确定唯一的三角形,B不正
12、确;C.A=50,B=60,AB=2,由 ASA能得出两三角形全等,A=50,B=60,AB=2能确定唯一的三角 形,C正确;D.C=90,AB=5,缺少证明两三角形全等的条件,C=90, AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.故选C.,(2017北京昌平临川育人学校月考,21,)尺规作图:已知,线段a, b.(如图) 求作:ABC,使A=,AB=a,AC=b.(不写作法,保留痕迹),解析 如图,ABC即为所求作的三角形.,解答题 (2015浙江杭州中考,21,)“综合与实践”学习活动准备制作一组 三角形,记这些三角形的三边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度 为大于1且小于5的整数个
13、单位长度. (1)用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边 长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角 形; (2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不 写作法,保留作图痕迹).,解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4, 4),(4,4,4). (2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形.,(2013吉林长春中考,12,)如图,以ABC的顶点A为圆心,BC长为 半径作弧;
14、再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D;连接AD、 CD.若B=65,则ADC的大小为 度.,答案 65,解析 由作图知:AB=CD,AD=BC,又AC=AC,ABCCDA, ADC=B=65.,已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm,一个内角为40. (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形; (2)你是否还能作出既满足条件,又与(1)中所作的三角形不全等的三角 形?若能,请你用“尺规作图”作出这样的三角形;若不能,请说明理由. 解析 (1)如图所示,作AOB=40,以O为圆心,1 cm为半径画弧,交OA于 点C,以O为圆心,2 cm为半径画弧,交OB于点D,连接CD,则OCD就是满 足条件的一个三角形(如图所示).,(2)能.如图所示,作AOB=40,以点O为圆心,1 cm为半径画弧,交OA于 点C,以点C为圆心,2 cm为半径画弧,交OB于点E,连接CE,则OCE即为 所求.(不唯一),一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块,请你用尺规作图的方 法画一个三角形,使所得的三角形和原来的三角形全等.(不要求写作法, 保留作图痕迹),解析 如图所示,ABC就是所求作的三角形.,
