1、第13讲 椭圆、双曲线、抛物线,总纲目录,考点一 圆锥曲线的定义及标准方程,1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PMl于M.,2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为 + =1 ,其中ab0; (2)双曲线的标准方程为 - =1 ,其中a0,b0; (3)抛物线的标准方程为x2=2py,y2=2px,其中p0.,例 (1)(2018天津,7,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率 为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与
2、双曲线交于A,B两点.设A,B到 双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线 的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 (2)(2017课标全国,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .,答案 (1)C (2)6,解析 (1)不妨设A在B的上方,则A ,B .其中的一条渐 近线为bx-ay=0,则d1+d2= = =2b=6,b=3. 又由e= =2,a2+b2=c2知a2+b2=4a2,a= . 双曲线的方程为 - =1. 故选C.,(2)如
3、图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设 抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为 FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN |=2|FM|=6.,方法归纳,圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设 出标准方程. (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位 置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0),椭圆常设为 mx2+ny2=1(m0,n0),双曲
4、线常设为mx2-ny2=1(mn0).,1.已知双曲线的虚轴长为4,离心率e= ,F1、F2分别是双曲线的 左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB| 是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|等于 ( ) A.8 B.4 C.2 D.8,答案 A 由题意可知2b=4,e= = = ,于是a=2 .2| AB|=|AF2|+|BF2|,|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=|AF2|-|AF1|+| BF2|-|BF1|=4a=8 .,2.(2018湖北八校联考)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为 O的左焦点,P为C上一
5、点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程 为 ( ),A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 C 由题意可得c=5,设右焦点为F ,连接PF ,由|OP|=|OF|=| OF |知PFF =FPO,OF P=OPF ,PFF +OF P= FPO+OPF ,FPO+OPF =90,即PFPF .在RtPFF 中,由勾股定理,得|PF|= = =8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF|=2a=6+8=14,从而a2=49, 于是b2=a2-c2=49-52=24,椭圆C的方程为 + =1,故选C.,考点二 圆锥曲线的几何性质,1.椭圆、双曲线中,a,
6、b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e= = ; (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e= = .,2.双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为y= x.注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.,例 (1)(2018课标全国,5,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心 率为 ,则其渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x (2)(2018重庆六校联考)已知双曲线C1: - =1(a0,b0)的离心 率为2,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距 离为2,则抛物线C2的方程是 ( ) A.x2=16
7、y B.x2=8y C.x2= y D.x2= y,答案 (1)A (2)A,解析 (1)双曲线 - =1的渐近线方程为bxay=0. e= = = , a2+b2=3a2,b= a(a0,b0). 渐近线方程为 axay=0,即y= x. 故选A.,=2,解得p=8,所以抛物线C2的方程是x2=16y.,(2)因为双曲线C1: - =1(a0,b0)的离心率为2,所以 =2,即=4,所以 =3.因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线的距离为2,所以,方法归纳,圆锥曲线的几何性质的应用 确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围,其关键就是建立
8、一个关 于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到关 于a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组)时,要充分 利用椭圆和双曲线的几何性质.,1.(2018潍坊统一考试)已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦点到渐 近线的距离为 ,且离心率为2,则该双曲线的实轴的长为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离 为 =b= ,即c2-a2=3,又e= =2,所以a=1,所以该双曲线的实 轴的长为2a=2.,2.(2018沈阳质量检测(一)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶 点A,B
9、在抛物线y2=3x上,则AOB的边长是 .,答案 6,解析,如图,设AOB的边长为a,则A ,点A在抛物线y2=3x上, a2=3 a,a=6 .,3.(2018南昌摸底调研)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点 为F,过点F作圆(x-a)2+y2= 的切线,若该切线恰好与C的一条渐近 线垂直,则双曲线C的离心率为 .,答案 2,解析 不妨取与切线垂直的渐近线方程为y= x,由题意可知该切 线方程为y=- (x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2= 的圆心为(a,0),半 径为 ,则圆心到切线的距离d= = = ,又e= ,则e2-4e +4=0,解得e=2,所以双曲
10、线C的离心率e=2.,考点三 直线与圆锥曲线的相关问题,命题角度一:直线与圆锥曲线的位置关系,例1 (2018兰州诊断考试)双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近 线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ) A. B.5 C. D.,答案 D,解析 双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只 有一个公共点,即y= x与抛物线y=x2+1相切,由 得ax2-bx+ a=0,则该方程有且只有一个根,所以b2-4a2=0,解得 =4,所以离心 率e= = ,故选D.,方法归纳,判断直线与圆锥曲线的位置关系的两种常用方法 (1)代数法:联立直线与圆锥曲线方
11、程可得到一个关于x,y的方程 组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,从 而判断直线与圆锥曲线的关系. (2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个 数,从而判断直线与圆锥曲线的关系. 命题角度二:与弦的中点、弦长有关的问题,例2 (2018南宁摸底联考)已知椭圆 + =1(ab0)的一条弦所 在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点是M(-4,1),则椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C,解析 设直线x-y+5=0与椭圆 + =1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,因为AB的中点M坐标为(-4,1),所以x1+x2=-8,y
12、1+y2=2,易知直线 AB的斜率k= =1.由题意知 + =1, + =1,两式相减得,+ =0,所以 =- ,所以 = ,于是椭圆的离心率e= = = ,故选C.,方法归纳 圆锥曲线以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率如下表:,其中k= (x1x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标.,例3 (2018北京文,20节选)已知椭圆M: + =1(ab0)的离心 率为 ,焦距为2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点 A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值.,命题角度三:直线与圆锥曲线的相交弦问题,解析 (1)由题意得 解得a=
13、,b=1. 所以椭圆M的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=- ,x1x2= .,|AB|= = = = . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 .,方法归纳,直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥 曲线方程联立,消去y或x后得到一元二次方程,当0时,直线与圆 锥曲线有两个交点,设为A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系求出x1 +x2,x1x2或y1+y2,y1y2,则弦长|AB|= = = |y1-y2
14、|= (k为直线 的斜率且k0),当A,B两点坐标易求时也可以直接用|AB|= 求解.,1.(2018课标全国,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0) 且斜率为 的直线与C交于M,N两点,则 =( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 D 由题意知直线MN的方程为y= (x+2), 联立直线与抛物线的方程,得 解得 或 不妨设M(1,2),N(4,4). 抛物线焦点为F(1,0), =(0,2), =(3,4). =03+24=8. 故选D.,2.已知斜率为k(k0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,O为坐 标原点,M是线段AB的中点,F为C的焦点,OFM
15、的面积等于2,则k = ( ) A. B. C. D.,答案 C 由抛物线方程y2=4x可知焦点F(1,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), M为线段AB的中点, 由题意知 =4x1, =4x2,两式相减可得 - =4(x1-x2)(y1+y2)(y1-y 2)=4(x1-x2) = , 即k= ,k0,y00. SOFM= 1y0=2,解得y0=4,k= = .故选C.,3.(2018唐山五校联考)在直角坐标系xOy中,长为 +1的线段的 两端点C,D分别在x轴、y轴上滑动, = .记点P的轨迹为曲 线E. (1)求曲线E的方程; (2)经过点(0,1)作直线与曲
16、线E相交于A,B两点, = + ,当点 M在曲线E上时,求四边形AOBM的面积.,解析 (1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y). 由 = ,得(x-m,y)= (-x,n-y), 所以 得 由| |= +1,得m2+n2=( +1)2, 所以( +1)2x2+ y2=( +1)2, 整理,得曲线E的方程为x2+ =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 = + ,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2).,由题意知,直线AB的斜率存在. 设直线AB的方程为y=kx+1,将其代入曲线E的方程,得 (k2+2)x2+2kx-1=0, 则x1+x2=- ,x1x2=- . 则y1+y2=k(x1+x2)+2= . 由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+ =1, 即 + =1,解得k2=2. 这时|AB|= |x1-x2|= = ,原点到直线AB的距离d= = , 所以四边形AOBM的面积S=|AB|d= .,
