1、第1讲 函数的图象与性质,总纲目录,考点一 函数及其表示,1.函数的三要素 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素.研究函数问题务 必遵循“定义域优先”的原则.,2.分段函数 对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时, 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值 或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.,1.下列函数中,值域为(-,0)的是 ( ) A.y=-x2 B.y=3x-1 C.y= D.y=-,答案 B 选项A中,y0;选项C中,y0;选项D中,y0;选项B 中,y0.故选B.,2.已知函数f(x)的定义域为3,6,则函数y= 的定义域为( ) A.
2、B. C. D.,答案 B 要使函数y= 有意义,需满足即 解得 x2,3.(2018石家庄模拟)已知f(x)= (0a1),且f(-2)=5,f(-1)= 3,则f(f(-3)=( ) A.-2 B.2 C.3 D.-3,答案 B 由题意,得f(-2)=a-2+b=5,f(-1)=a-1+b=3.联立, 结合0a1,得a= ,b=1.所以f(x)= 所以f(-3)= +1 =9,f(f(-3)=f(9)=log39=2.故选B.,4.(2017课标全国,15,5分)设函数f(x)= 则满足f(x)+f 1的x的取值范围是 .,答案,解析 本题考查分段函数. 当x 时, f(x)+f =2x+
3、 2x 1; 当02x1;当x0时, f(x)+f =x+1+ +1=2x+ ,f(x)+f 12x+ 1 x- ,即- x0. 综上,x .,方法归纳,求函数值时的三个关注点 (1)形如f(g(x)的函数求值时,应遵循先内后外的原则; (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题,必须依据条件准确地找 出利用哪一段求解; (3)对于利用函数性质的求值问题,必须依据条件找到函数满足的 性质,利用该性质求解.,考点二 函数的图象及应用作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法, 其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.,命题角度一 函数图象的识别,例1 (1)(2018浙江,5,4分)
4、函数y=2|x|sin 2x的图象可能是 ( ),(2)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,且a1)的图象如图 所示,则下列结论成立的是 ( ),A.a1,c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,答案 (1)D (2)D,解析 (1)本小题考查函数的奇偶性,指数型函数、三角函数的值 域. 因为y=2|x|sin 2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|0,且当00,当 0,x 时,y 0,即logac0,所以0c1.,方法归纳,由函数解析式识别函数图象的策略,例2 (2018课标全国文,7,5分)下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是 ( )
5、 A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x),命题角度二 函数图象的变换,答案 B,解析 本题考查函数图象的对称性. 解法一:y=ln x的图象上的点P(1,0)关于直线x=1的对称点是它本 身,则点P在y=ln x的图象关于直线x=1对称的图象上,结合选项可 知,B正确.故选B. 解法二:设Q(x,y)是所求函数图象上任一点,则其关于直线x=1的对 称点P(2-x,y)在函数y=ln x图象上,所以所求图象对应的函数解析 式为y=ln(2-x).故选B.,方法归纳,函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移“左加右减”;上下平移“上加
6、 下减”. (2)翻折变换:将y=f(x)在x轴下方的图象翻折到上方,与y=f(x)在x 轴上方的图象合起来得到y=|f(x)|的图象;将y=f(x)在y轴左侧的 图象去掉,再作右侧部分关于y轴对称的图象,两者合起来得到y=f (|x|)的图象.,轴对称. y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.,(3)对称变换:若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a -x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x). y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x,例3 已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定
7、:当|f(x)|g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)| g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x) ( ) A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值,命题角度三 函数图象的应用,答案 C,解析 由题意,利用平移变换的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象,如图.而h(x)= 故h(x)有最小值-1,无最大值.,方法归纳,函数图象的应用 (1)研究函数的性质; (2)确定不等式的解集,研究不等式的成立问题; (3)确定方程根的个数.,1.已知定义在区间0,4上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2 -x
8、)的图象为 ( ),答案 D 先作出函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象,得到y =f(-x)的图象;然后将y=f(-x)的图象向右平移2个单位,得到y=f(2-x) 的图象;再作y=f(2-x)的图象关于x轴的对称图象,得到y=-f(2-x)的 图象,故选D.,2.设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的xR,不等式f(x)g(x)恒 成立,则实数a的取值范围是 .,答案 -1,+),解析 如图,要使f(x)g(x)恒成立,则-a1,即a-1.,考点三 函数的性质,函数的性质 (1)单调性: 对于函数y=f(x)的定义域内某一区间D上的任意x1,x2,(x1-x2)f(x
9、1)-f(x2)0(0)y=f(x)在区间D上是增(减)函数. (2)奇偶性: 对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0y=f(x)是奇函数; 对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0y=f(x)是偶函数. (3)周期性:,若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2|a|(a0); 若f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=2|a|(a0); 若满足f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)0,则f(x)是周期函 数,其中一个周期是T=2|a|(a0).,命
10、题角度一 函数的单调性与奇偶性,例1 (1)(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x- ,则f(x) ( ) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数,(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0,+)时,函数f(x) 是单调递减函数,则f(log25),f ,f(log53)的大小关系是 ( ) A.f f(log53)f(log25),B.f f(log25)f(log53) C.f(log53)f f(log25) D.f(log25)f f(log53),答案 (1)A (2)D,解析
11、 (1)易知函数f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=3-x- = -3x=-f(x), f(x)为奇函数. 又y=3x在R上是增函数,y=- 在R上是增函数, f(x)=3x- 在R上是增函数.故选A. (2)因为f(x)在R上为偶函数,所以f =f(-log35)=f(log35). 由对数函数的单调性可知,log25log351log530,又因为f(x)在x 0,+)上为单调递减函数,所以f(log53)f(log35)f(log25),即f(log,53) f(log25).,方法归纳,1.判断函数单调性的常用方法 数形结合法、结论法(增+增=增、减+减=减及复合函数的同增 异
12、减)、定义法和导数法.,2.判断函数是奇(偶)函数的关注点 必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),而不能说 存在x0,使f(-x0)=-f(x0)或f(-x0)=f(x0).,例2 (2018课标全国,11,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇 函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( ) A.-50 B.0 C.2 D.50,命题角度二 函数的奇偶性与周期性,答案 C,解析 本题主要考查函数的奇偶性和周期性. f(x)是定义域为(-,+)的奇函数, f(0)=0, f(-x)=-f(x)
13、. 又f(1-x)=f(1+x), f(-x)=f(2+x). 由得f(2+x)=-f(x). 用2+x代替x,得f(4+x)=-f(2+x). 由,得f(x)=f(x+4). f(x)的最小正周期为4.,由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0; 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2; 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0. 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.,方法归纳,周期性与奇偶性相结合的问
14、题 此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所 求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.,1.已知函数f(x)=asin x+b +4,若f(lg 3)=3,则f = ( ) A. B.- C.5 D.8,答案 C 由f(lg 3)=asin(lg 3)+b +4=3,得asin(lg 3)+b = -1.而f =f(-lg 3)=-asin(lg 3)-b +4=-asin(lg 3)+b +4=1 +4=5.故选C.,2.(2017课标全国,5,5分)函数f(x)在(-,+)上单调递减,且为奇 函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是 (
15、 ) A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3,答案 D 已知函数f(x)在(-,+)上为单调递减函数,且为奇 函数,则 f(-1)=-f(1)=1.所以原不等式可化为f(1)f(x-2)f(-1),则-1 x-21,即1x3.故选D.,3.(2017成都第二次诊断)已知函数f(x)的定义域为R,当x-2,2 时,f(x)单调递减,且函数f(x+2)为偶函数,则下列结论正确的是 ( ) A.f()f(3)f( ) B.f()f( )f(3) C.f( )f(3)f() D.f( )f()f(3),答案 C 因为函数f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于 直线x=2对称.又当x-2,2时,f(x)单调递减,所以当x2,6时,f(x) 单调递增,f( )=f(4- ).因为24- 36,所以f( )f(3)f().,
