1、第五章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入,-2-,5.1 平面向量的概念及线性运算,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.向量的有关概念,大小,方向,长度,模,0,1个单位长度,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,相同,相反,方向相同或相反,平行,相等,相同,相等,相反,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.向量的线性运算,b+a,a+(b+c),-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,|a|,相同,相反,a,a+a,a+b,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,3.向量共线定理 (1)向量b与a(a0)共线当且仅当有唯一一个实数,使得 . 注:限定a0
2、的目的是保证实数的存在性和唯一性. (2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有,b=a,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2,-10-,知识梳理,双基自测,3,4,1,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量. ( )(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反. ( ) (4)若向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. ( ) (5)若ab,bc,则ac. ( ),答案,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 D
3、.a+b+c+d=0,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( ) A.ab B.|a|=|b| C.ab D.|a|b|,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评 1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的
4、,它与任何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是共线向量. 3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一条直线上,而两条平行直线不能平移到同一条直线上.,例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)给出下列命题: 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则“ ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相
5、同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab. 其中真命题的序号是 .,-15-,考点1,考点2,考点3,答案,-16-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以ab. 若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件. (2)不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的.,不正确.相等向量的起点和终点可以都不同; 不正确.当ab且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b. 综上所述,真命题的序号是.,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示
6、,也可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)给出下列命题: 两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; 若a=0(为实数),则必为零; 已知,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中错误命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0
7、;若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数为 .,答案: (1)C (2)3,-19-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)错误.当方向不同时,不是共线向量.正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. 错误.当a=0时,不论为何值,a=0. 错误.当=0时,a=b,此时,a与b可以是任意向量. (2)向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.,-20-,考点1,考点
8、2,考点3,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来. 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,例3设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 思考如何用向量的方法证明三点共线?,-25-,考点1,考点
9、2,考点3,A,B,D三点共线. (2)解 ka+b与a+kb共线, 存在实数,使ka+b=(a+kb), 即ka+b=a+kb, (k-)a=(k-1)b. a,b是两个不共线的非零向量, k-=k-1=0, k2-1=0,k=1.,-26-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.,-27-,考点1,考点2,考点3,A.m+n=0 B.m-n
10、=0 C.mn+1=0 D.mn-1=0,A.34 B.32 C.11 D.13,答案,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的重要结论: (1)若存在非零实数,使得 ,则A,B,C三点共线. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,平行向量与起点无关. 2.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素,向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”
11、.,-30-,考点1,考点2,考点3,1.若两向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点. 2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.,4.在向量共线的充要条件中要注意“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.,-31-,易错警示都是零向量“惹的祸” 典例下列命题正确的是 .(填序号) 向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;在ABC中, ;不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;只有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线. 答案,-32-,解析:向量a与b不共线,向量a,b,a+b与a-b均不为零向量. 若a+b与a-b平行,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,故此时无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线. 故正确;显然错误.,反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.,
