1、13.4 圆周角和圆心角的关系第 2 课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？ 如图所示，甲队员在圆心 O 处，乙队员在圆上 C 处，丙队员带球突破防守到圆上 C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】 利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图， BD 是 O 的直径， CBD30，则 A 的度数为( )A30 B45 C60 D7
2、5解析： BD 是 O 的直径， BCD90. CBD30， D60， A D60.故选 C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3 题【类型二】 作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点 A、 B、 D、 E 在 O 上，弦 AE、 BD 的延长线相交于点 C.若 AB 是 O 的直径， D 是 BC 的中点(1)试判断 AB、 AC 之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当 ABC 为正三角形时，点 E 是否为 AC 的中点？为什么？2解析：(1)连接 AD，先根据圆周角定理求出 ADB90，
3、再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接 BE，根据圆周角定理求出 AEB90，根据等腰三角形性质求解解：(1) AB AC.证明如下：连接 AD， AB 是 O 的直径， ADB90， 即AD BC. BD DC， AD 垂直平分 BC， AB AC；(2)当 ABC 为正三角形时， E 是 AC 的中点理由如下：连接 BE， AB 为 O 的直径， BEA90，即 BE AC. ABC 为正三角形， AE EC，即 E 是 AC 的中点方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题探究点二：圆内接四边形【类
4、型一】 圆内接四边形性质的运用如图，四边形 ABCD 内接于 O，点 E 是 CB 的延长线上一点， EBA125，则 D( )A65 B120 C125 D130解析： EBA125， ABC18012555.四边形 ABCD 内接于 O， D ABC180， D18055125.故选 C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题【类型二】 圆内接四边形与圆周角的综合如图，在 O 的内接四边形 ABCD 中， BOD120，那么 BCD 是( )A120 B100C80 D60解析： BOD120， A60， C1806
5、0120，故选 A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题【类型三】 圆内接四边形与垂径定理的综合如图， AB 为 O 的直径， CF AB 于 E，交 O 于 D， AF 交 O 于 G.求证： FGD ADC.3解析：利用圆内接四边形的性质求得 FGD ACD，然后根据垂径定理推知 AB 是 CD的垂直平分线，则 ADC ACD.故 FGD ADC.证明：四边形 ACDG 内接于 O， FGD ACD.又 AB 为 O 的直径， CF AB 于E， AB 垂直平分 CD， AC AD， ADC ACD， FGD
6、 ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形 ABCD 内接于 O， AB 为 O 的直径，点 C 为 的中点， AC、 BD 交BD 于点 E.(1)求证： CBE CAB；(2)若 S CBE S CAB14，求 sin ABD 的值解析：(1)利用圆周角定理得出 DBC BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC BC BC EC21，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案(1)证明：点 C 为 的中点， DBC B
7、AC.在 CBE 与 CAB 中，BD DBC BAC， BCE ACB， CBE CAB；(2)解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分 BD. S CBE S CAB14， CBECAB， AC BC BC EC21， AC4 EC， AE EC31. AB 为 O 的直径， ADB90， AD OC，则 AD FC AE EC31.设 FC a，则 AD3 a. F 为 BD 的中点， O 为 AB 的中点， OF 是 ABD 的中位线，则OF AD1.5 a， OC OF FC1.5 a a2.5 a，则 AB2 OC5 a.在 Rt ABD 中，12sin ABD .ADAB 3a5a 35方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1圆周角和直径的关系2圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境自主探究拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒4体辅助教学，引导学生进行有效思考在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.
