1、1课时作业 15 导数与函数的极值、最值基础达标一、选择题1函数 y 的最大值为( )ln xxAe 1 BeCe 2 D.103解析：令 y 0，解得 xe.当 xe 时， y0，所以1 ln xx2y 极大值 f(e) ，在定义域内只有一个极值，所以 ymax .1e 1e答案：A2从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A12 cm 3 B72 cm 3C144 cm 3 D160 cm 3解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm，则 x(0,5)，则 y(102 x)(162 x)x4 x352
2、x2160 x，所以 y12 x2104 x160.令 y0，得 x2 或 (舍去)，203所以 ymax6122144(cm 3)答案：C32019山东省，湖北省部分重点中学质量检测已知函数 f(x) xlnx x2 x 有m2极值，则实数 m 的取值范围是( )A. B.(0，1e) ( ， 1e)C. D.(0，1e ( ， 1e解析：通解 f(x) xlnx x2 x，则 f( x)ln x mx.函数 f(x)有极值，即 f( x)m2ln x mx 有变号零点，即函数 g(x) 与函数 y m 在(0，)上的图象有交点(除去lnxx2相切的情况)因为 g( x) ，所以 g(x)在
3、0，e)上单调递增，在(e，)上单调1 lnxx2递减，所以 g(x)max g(e) ，画出函数 g(x)的大致图象，如图所示，若 g(x)lnee 1e与 y m 的图象有交点(除去相切的情况)，则 m1 时，f( x)0，故 f(x) xlnx x 在 x1 处取得极值，符合题意，排除 A，C；当 m 时， f(x)1e xlnx x2 x， f( x)ln x x，令 g(x)ln x x，则 g( x) ，当 00，当 xe 时， g( x)0，所以函数 f(x)在(，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 .又当 x0 时，函数 g(x
4、)在2,2上单调递增，所以函数 g(x)的值域为2 a1,2 a1，因为对任意的 x12,2，总存在唯一 x0(，2)，使得 f(x0) g(x1)，所以2 a1,2 a10,2e 2，所以Error!3解得 0 时， f( x)0， f(x)单调递增12当 cosx ， f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin2 x2sin x(1cos x)，当 sinx 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 332答案：33282019山东淄博模拟已知函数 f(x)e x， g(x)ln ，对任意 aR，存在x2 12b(0，)，使 f(a) g(b)，则
5、 b a 的最小值为_解析：令 ye a，则 aln y，令 yln ，可得 b2e y ，令 h(y) b a，则 h(y)b2 12 122e y ln y， h( y)2e y .显然， h( y)是增函数，观察可得当 y 时，12 12 1y 12h( y)0，故 h( y)有唯一零点故当 y 时， h(y)取得最小值，为122e ln 2ln2.12 12 12答案：2ln2三、解答题92018北京卷设函数 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x.(1)若曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的
6、取值范围解析：(1)因为 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x，所以 f( x) ax2(2 a1) x2e x.所以 f(1)(1 a)e.由题设知 f(1)0，即(1 a)e0，解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f( x) ax2(2 a1) x2e x( ax1)( x2)e x.若 a ，则当 x 时， f( x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时， x20.12 12所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知， a 的取值范围是 .(12， )102018全国卷已知函数 f(x) .ax2 x 1e
7、x(1)求曲线 y f(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当 a1 时， f(x)e0.解析：(1) f( x) ， f(0)2. ax2 2a 1 x 2ex因此曲线 y f(x)在(0，1)处的切线方程是 2x y10.(2)证明：当 a1 时， f(x)e( x2 x1e x1 )e x.令 g(x) x2 x1e x1 ，则 g( x)2 x1e x1 .当 x1 时， g( x)0， g(x)单调递增所以 g(x) g(1)0.因此 f(x)e0.能力挑战112018全国卷已知函数 f(x) aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a 时， f(x)0.1e解析：(1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) aex .1x由题设知， f(2)0，所以 a .12e2从而 f(x) exln x1， f( x) ex .12e2 12e2 1x当 02 时， f( x)0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当 a 时， f(x) ln x1.1e exe6设 g(x) ln x1，则 g( x) .exe exe 1x当 01 时， g( x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x) g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e
